В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.
- Формула вычисления площади
- Пример задачи
- Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Общие понятия
- Нахождение площадей фигур
- Площадь поверхности параллелепипеда
- Площадь поверхности куба
- Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
- Поверхность параллелепипеда
- Заключение
- Видео
- Прямоугольный параллелепипед
- Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
- Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
- Видео
Видео:5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
Формула получена следующим образом:
- Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
- Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .
Видео:Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.
Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.
Видео:Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Общие понятия
Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).
Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.
- Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
- Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
- Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
- Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
- Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
- Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
- Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
- Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.
Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать
Нахождение площадей фигур
Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.
- Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
- Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
- Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).
Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.
1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.
- S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.
2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.
- S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.
3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.
Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:
- S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.
Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:
- S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.
Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.
Видео:Математика 4 класс (Урок№63 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать
Площадь поверхности параллелепипеда
Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.
Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать
Площадь поверхности куба
Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.
На примере это выглядит следующим образом:
Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?
При данных условиях имеем:
S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.
Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:
S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.
Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.
Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?
Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.
Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.
Видео:№217. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершинуСкачать
Поверхность параллелепипеда
Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:
- S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
- S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h1, h2, h3 опущенные на них высоты.
- S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.
Снова приведём пример:
- a = 15, b = 25, c = 25, h1 = 10, h2 = 20, h3 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
- S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.
В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.
Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Заключение
Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.
Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать
Видео
Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.
Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
- В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
- Противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$с$ — высота(она же боковое ребро);
$P_$ — периметр основания;
$S_$ — площадь основания;
$S_$ — площадь боковой поверхности;
$S_$ — площадь полной поверхности;
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_=P_·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
$а$ — длина стороны.
$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
- $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√
$, где $р$ — это полупериметр $p=/$.
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
- $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности.
- Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.
В основании лежит четырехугольник.
- Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны. - Ромб.
$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами. - Трапеция.
$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции. - Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.
Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.
Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник
Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.
Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
💥 Видео
КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ? 5 классСкачать
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)Скачать
МАТЕМАТИКА 5 класс: Прямоугольный параллелепипед | ВидеоурокСкачать
11 класс, 30 урок, Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать
24. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда (Виленкин, 5 класс)Скачать