«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Контрольная работа № 3
Тема: Параллельность прямых и плоскостей .
1. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β . Могут ли эти прямые быть:
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О , лежащую между параллельными плоскостями α и β , проведены прямые l и m . Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А 1 и А 2 соответственно, прямая m – в точках В 1 и В 2 . Найдите длину отрезка А 2 В 2 , если А 1 В 1 = 12 см, В 1 О : ОВ 2 = 3 : 4.
3. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M , N и K , являющиеся серединами ребер АВ , ВС и DD 1 .
Контрольная работа № 3
Тема: Параллельность прямых и плоскостей .
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β . Могут ли эти прямые быть:
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О , не лежащую между параллельными плоскостями α и β , проведены прямые l и m . Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А 1 и А 2 соответственно, прямая m – в точках В 1 и В 2 . Найдите длину отрезка А 1 В 1 , если А 2 В 2 = 15 см, ОВ 1 : ОВ 2 = 3 : 5.
3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N , являющиеся серединами ребер DC и BC , и точку K , такую, что K 
DA , АK : KD = 1 : 3.
Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскость A и B в точках А1и А2 соответственно, прямая m — в точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12см, В1О:ОВ2 = 3:4
Решение .
Через прямые А1А2 и В1В2 можно повести плоскость, которая пересечёт параллельные плоскости по параллельным прямым А1В1 и А2В2.
У образовавшихся треугольников ОА1В1 и ОА2В2 соответствующие углы равны. Углы при вершине О равны как вертикальные, а остальные — как внутренние накрест лежащие у параллельных прямых. Следовательно треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны.
У подобных треугольников соответствующие стороны соотностятся через коэффициент подобия.
Откуда:
ОВ1:ОВ2 = А1В1:А2В2,
Следовательно:
А2В2 = 4 * 12 / 3 = 16
1.
2. Треугольники ОА1В1 и ОА2В2 подобны. У подобных треуг-ков отношение соответствующих сторон сохраняется и оно равно 3/5. Тогда
ОВ1/ОВ2=3/5, соответственно А1В1/А2В2=3/5, тогда
3. 
Воспользуемся тем, что MN||BD и следовательно, KP||BD. находим точку P.
Или MK ∩ ABC = X, NX ∩ AB = P (метод следов). Точка P — найдена.
Г10(I)-3. Параллельность плоскостей. Тесты
Геометрия 10 класс. Глава I. Тест 3.
Вариант 1.
1. Выбрать верные утверждения.
1) Две плоскости называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.
2) Если две плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
3) Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
A) 1; 2; 3; B) 1; 2; C) 1; 3; D) 2; 3.
2. На рисунке 1 точки: Е-середина АМ, К-середина ВМ, Р-середина СМ. Площадь треугольника ЕКР равна 24 см 2 . Найти площадь треугольника АВС.
A) 96 см 2 ; B) 64 см 2 ; C) 72 см 2 ; D) 48 см 2 .
3. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла РМК в точках А, В, Е и С, как показано на рисунке 2. Известно, что МВ=2,5АМ, АЕ=18 см. Найти ВС.
A) 40 см; B) 45 см; C) 36 см; D) 42 см.
4. На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О. Величина угла АОС составляет 60°, МК=9 см. Найти АК.
A) 20 см; B) 18 см; C) 16 см; D) 12 см.
Вариант 2.
1. Выбрать верные утверждения.
1) Возможны два случая взаимного расположения плоскостей: а) две плоскости пересекаются по прямой; б) две плоскости параллельны.
2) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
3) Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
A) 1; 2; 3; B) 1; 2; C) 1; 3; D) 2; 3.
2. На рисунке 1 точки: Е-середина АМ, К-середина ВМ, Р-середина СМ. Площадь треугольника АВС равна 120 см 2 . Найти площадь треугольника ЕКР.
A) 60 см 2 ; B) 40 см 2 ; C) 30 см 2 ; D) 24 см 2 .
3. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла РМК в точках А, В, Е и С, как показано на рисунке 2. Известно, что МС=3,5МЕ, ВС=21 см. Найти АЕ.
A) 9 см; B) 6 см; C) 7 см; D) 12 см.
4. На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О. Величина угла МОК составляет 60°, МС=24 см. Найти АС.
A) 20 см; B) 18 см; C) 16 см; D) 12 см.
Вариант 3.
1. Выбрать верные утверждения.
1) Если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, отличную от плоскости α.
2) Если две пересекающиеся прямые а и с плоскости α параллельны плоскости β, то плоскости α и β пересекаются.
3) Если плоскости α и β параллельны, а прямая с лежит в плоскости α, то прямая с параллельна плоскости β.
4) Через точку А, не лежащую в плоскости α можно провести плоскости, параллельные плоскости α.
A) 1; B) 2; C) 3; D) 4.
2. На рисунке 1 плоскости АВС и МКР параллельны, АМ:МО=2:5, площадь треугольника МРК равна 50 см 2 . Найти плоскость треугольника АВС.
A) 75 см 2 ; B) 100 см 2 ; C) 96 см 2 ; D) 98 см 2 .
3. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках М, К, Р и Е как показано на рисунке 2. Известно, что ВР=3,5МР, ВМ=12,5 см, МК=25 см. Найти РЕ.
A) 35 см; B) 36 см; C) 42 см; D) 34 см.
4. На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О, АК=17 см, МК=8 см. Найти СК.
A) 25 см; B) 15 см; C) 20 см; D) 35 см.
Вариант 4.
1. Выбрать верные утверждения.
1) Если плоскости α и β параллельны, а прямая с лежит в плоскости α, то прямая с пересечёт плоскость β.
2) Если плоскости α и β параллельны плоскости γ, то плоскости α и β параллельны.
3) Если точка А не лежит в плоскости пересекающихся прямых m и n, то через неё нельзя провести плоскость, параллельную прямым m и n.
4) Если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она лежит в другой плоскости.
A) 1; B) 2; C) 3; D) 4.
2. На рисунке 1 плоскости АВС и МКР параллельны, ОК:СК=7:3, площадь треугольника АВС равна 100 см 2 . Найти плоскость треугольника МРК.
A) 50 см 2 ; B) 25 см 2 ; C) 48 см 2 ; D) 49 см 2 .
3. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках М, К, Р и Е как показано на рисунке 2. Известно, что ВЕ=2,5КЕ, ВК=4,5 см, РЕ=15 см. Найти МК.
A) 5 см; B) 6 см; C) 9 см; D) 8 см.
4. На рисунке 3 точки А, В и С лежат в плоскости α, точки М, Р и К в плоскости β. Отрезки АК=СМ и ВР имеют общую середину О. АС=7 см, АМ=24 см. Найти АК.
A) 25 см; B) 15 см; C) 20 см; D) 35 см.
1) Возможны два случая взаимного расположения плоскостей: а) две плоскости пересекаются по прямой; б) две плоскости не имеют ни одной общей точки.
2) Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
3) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
4) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
5) Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
Начертательная геометрия, решение задач №31-38 СибАДИ
ТЕМА6. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей или множества геометрических элементов
Задача № 31 Через точку А провести плоскость, параллельную данной.
Задача № 32 Через прямую а провести плоскость, перпендикулярную к плоскости бета, заданной прямыми LK и KM
Задача № 33 На прямой MN найти точку, равноудаленную от точек A и B
Задача № 34 Построить горизонтальную проекцию прямой АВ, пересекающейся с прямой CD при условии, что угол между ними прямой.
Задача № 35 Построить на плоскости треугольника CDE множество точек равноудаленных от концов отрезка AB
Задача № 36 Через точку А провести прямую пересекающую отрезок CD и параллельную плоскости треугольника KLM.
Задача № 37 Через точку А построить прямую параллельную двум плоскостям, заданным следами.
Задача № 38 Провести плоскость параллельную плоскости треугольника АВС, и удаленную от нее на 30 мм.