Собственные векторы в maple

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Из курса линейной алгебры известно, что если А х = l х , то вектор х называется собственным вектором матрицы А , а число l – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k .

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A). В результате выполнения этой команды будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие собственные векторы.

Чтобы понять, в каком виде получаются результаты выполнения команды eigenvectors, внимательно разберитесь со следующим примером: матрица имеет 3 собственных вектора: , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1, , отвечающий собственному числу кратности 1. Найдем их в Maple :

В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках , затем следующие наборы таких же данных.

Характеристический и минимальный многочлены матрицы.

Для вычисления характеристического многочлена матрицы A используется команда charpoly(A,lambda).

Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly(A,lambda).

Канонические и специальные виды матрицы.

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.

Характеристическую матрицу можно вычислить командой charmat(A,lambda).

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Задание 3.

1. Дана матрица . Найти ее собственные векторы и собственные числа.

,

Дана матрица . Найти собственные векторы, собственные числа, характеристический многочлен и минимальный многочлен, Жорданову форму.

Дана матрица .

Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.

Самостоятельно проверьте, чем будет отличаться результат выполнения команды ffgausselim(A) от gausselim(A) на этом примере.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Новые возможности Maple 2018 | New Features in Maple 2018Скачать

Описание пакета LinearAlgebra

Действия с матрицами

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n — число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n — число строк, m – число столбцов. Например:

> f:=(i, j)->x^i*y^j;

>A:=matrix(2,3,f);

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

1. evalm(A&*B);
2. multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A).Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)).Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).7

>det(A);

> minor(А,3,2);

> det(%);

> trace(A);

Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А- 1 , такую что А- 1 А=АА- 1 =Е, где Е — единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

1. evalm(1/A);
2. inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А’. Транспонированную матрицу А’ можно вычислить командой transpose(A).

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу А, найдем ей обратную и транспонированную:

>inverse(A);

> multiply(A,%);

> transpose(A);

Выяснение типа матрицы.

Выяснить положительную или отрицательную определенность матрицы можно при помощи команды definite(A,param), где param может принимать значения: ‘positive_def’ – положительно определена (A>0), ‘positive_semidef’ – неотрицательно определенная , ‘negative_def’ – отрицательно определенная (A A:=matrix([[2,1],[1,3]]);

> definite(А,’positive_def’);

Проверить ортогональность матрицы А можно командой orthog(A).

> В:=matrix([[1/2,1*sqrt(3)/2],

[1*sqrt(3)/2,-1/2]]);

> orthog(В);

Функции от матриц.

Возведение матрицы А в степень n производится командой evalm(A^n). Вычисление матричной экспоненты возможно с помощью команды exponential(A). Например:

> exponential(Т);

> evalm(Т^2);

Задание 2.

1. Даны матрицы: , , . Найти: (AB)C , detA, detB, detC, det[(AB)C]. Наберите:

> with(linalg):restart;

> A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C);

Det(F)=det(F);

1. Дана матрица , найти: detA, , A’, det(M₂₂). Наберите:

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,2,2));

1. Найти ранг матрицы .

> A:=matrix([[8,-4,5,5,9], [1,-3,-5,0,-7],

> r(A)=rank(A);

1. Вычислить , где .

> exponential([[3,-1],[1,1]]);

1. Дана матрица . Найти значение многочлена .

> P(A)=evalm(A^3-18*A^2+64*A);

Описание пакета LinearAlgebra

В Maple имеется пакет LinearAlgebra, ориентированный на решение задач линейной (матричной) алгебры. Он загружается соответствующей командой:

[> with(LinearAlgebra);

После выполнения этих команд система выводит на экран список процедур и функций, которыми располагает пакет LinearAlgebra.

Пакет LinearAlgebra является более мощным и совершенным по сравнению с linalg (в ранних версиях программы). Он предназначен для работы с матрицами и векторами больших размеров. Самым простым образом матрицу размером в пакете LinearAlgebra можно сформировать при помощи команды

Приведем в табл. 3.1 назначение наиболее часто применимых процедур и функций пакета LinearAlgebra. Более полную информацию о каждой процедуре или функции можно узнать в справке, или набрав команду

[> help(имя_процедуры);

Пример 3.1. Исследовать СЛАУ с параметром (СЛАУ задана своей расширенной матрицей) и решить в каждом случае:

.

Ниже приведен текст рабочего листа по решению данной задачи (с описаниями по ходу выполнения команд).

[> restart; with(LinearAlgebra): /задаем вектор-столбцы основной матрицы/ [> a1:=Vector([2,1,3]); a2:=Vector([lambda+1,lambda,-3]); a3:=Vector([lambda-2,-3,-7]); /задаем основную матрицу и вектор-столбец свободных коэффициентов системы/ [> A:=Matrix(3,3,[a1,a2,a3]); B:=Vector([3,lambda+2,3]); /выводим определитель основной матрицы системы, решение системы в матричном виде (при значениях, в которых определитель основной матрицы не равен нулю)/ [> Delta:=Determinant(A); X:=LinearSolve(A,B); /вычисляем значения параметра , при котором определитель обращается в нуль/ [> Korni:=solve(Determinant(A)=0); [> lambda:=Korni[1]; X:=LinearSolve(A,B); Error,(in LinearAlgebra:-LA_Main:-LinearSolve) inconsistent system /Maple предупреждает, что СЛАУ при данном значении параметра несовместна/ [> lambda:=Korni[2]; X:=LinearSolve(A,B); /СЛАУ имеет бесконечное множество решений при этом значении параметра /

Пример 3.2. Найти собственные числа и соответственные собственные векторы матрицы

.

Текст рабочего листа по решению задачи имеет вид:

Видео:Программирование в Maple 2017 | Programming in Maple 2017Скачать

Линейная алгебра

Искусство использования матриц и векторов для решения задач физики

Видео:Новые возможности Maple 2023!Скачать

Собственные значения
и собственные векторы

Одно из наиболее важных применений линейной алгебры в физике – это собственные значения и собственные векторы. Они есть в математической физике, классической механике, квантовой механике, численном анализе. В применении к матрицам задача о собственных значениях выглядит так.

Дана квадратная матрица A. Какими должны быть векторы x j и числа λ j , чтобы при умножении A на x j получался вектор x j , умноженный на число λ j ?

Существуют ли такие x j и λ j , что можно записать:

Поскольку умножение матрицы на вектор одновременно вращает вектор и умножает его на число, неясно, есть ли решение у этой задачи. Но можно доказать, что в большинстве случаев для матрицы размером есть N таких векторов и значений, которые называются собственными значениями и собственными векторами. Зачастую это комплексные величины, которые, как кажется, не имеют физического смысла, но даже если так, физический смысл с их помощью (или из них) можно получить. Если собственные значения – действительные числа, то собственные векторы обладают очень особым свойством.

Если собственный вектор x j умножается на A, то результат есть вектор, который либо параллелен x j (если λ j положительно), либо противоположно направлен (если λ j отрицательно).

Простая иллюстрация этой идеи:

OК, ясно, что получено «нечто вроде». Обычно нужны числа, а не гигантские абстрактные выражения. Простой путь их получения – ввести в матрицу элементы в виде чисел с плавающей запятой, т. е. с десятичной точкой:

Это намного лучше.

Теперь посмотрим на выдачу.

Из справки Maple help для Eigenvectors :

Первый набор чисел – это вектор-столбец, содержащий числа – собственные значения, а второй набор – это матрица, столбцы которой есть собственные векторы.

Поэтому если нужно получить третье собственное значение, то следует записать:

(Это выглядит странным, но так как v[1] – это вектор-столбец, имеет смысл спрашивать о его третьем элементе [3] .) Теперь нам нужен третий столбец v[2] , это делает команда Maple Column .

Теперь, умножая v3 на A , можно проверить, действительно ли это собственный вектор. Если так, то вернет

Для проверки правильности разделим y на λ 3 и посмотрим, получается ли собственный вектор :

Если в матрице, созданной Eigenvector , сравнить этот вектор с , окажется, что это то же самое с точностью, установленной командой Digits (= 10) для арифметики с плавающей запятой в Maple.

Поверните матрицу Rx из задачи о повороте вектора и найдите ее собственные значения и собственные векторы. Подумайте, что означает вращение и можно ли дать физический смысл ответам, полученным из Maple. При выборе значения theta попробуйте:

(b) θ = ,

(c) θ = .

(Учтите, что (c) понадобится при изучении спина в квантовой механике.) Хороший способ решить эту задачу – определить матрицу Rx с помощью функции Maple M(θ)

и затем применить ее для вычисления трех матриц в заданиях (a)–(c). (Из-за того, что в Maple10 есть ошибка, не стоит использовать в задаче evalf .)

Если трехкомпонентные векторы поворачиваются матрицей вращения, то матрицы тоже можно вращать. Поворот вектора v – это R*v, а поворот матрицы M – это inv(R)*M*R, где inv(R) означает инверсию матрицы R. В курсах физики и математики про это сказано много. Здесь только краткий пример.

(a) Создайте диагональную матрицу и преобразуйте ее, повернув систему координат с помощью ортонормальной матрицы поворотов:

Назовите новую матрицу M2.

(b) Вычислите собственные значения и собственные векторы матриц M1 и M2. Как их сравнить?

(c) Умножьте с обеих сторон M1 на вектор по правилу: transpose(a)*M1*a , приравняйте получившееся уравнение 4, чтобы создать квадратное уравнение 4x 2 + y 2 + 2z 2 = 4 , и используйте implicitplot3d для его визуализации. Примените в графике опцию axes=boxed. Форма одинаковая, кроме ориентации. Собственные значения M1 обусловлены геометрической шириной соответствующего эллипсоида и не зависят от поворота. Покажите это визуально для M2.

📺 Видео

Решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

Начало работы с Maple 2017 | Getting Started with Maple 2017Скачать

Learning Maple: Vectors 1 - Cartesian CoordinatesСкачать

Интерактивная математика в Maple 2017 | Clickable Math in Maple 2017Скачать

Maple Учимся рисовать в программеСкачать

Модель Леонтьева в программе MapleСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Курс лекций "Линейная алгебра". Часть 6: Собственные числа и собственные векторыСкачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Exercises of vectors, forces and moment with Maple part #01Скачать

Maple: Lab Session 5Скачать