Как сравнить углы треугольников (5 видео)

Содержание

Сравнение углов
Сравнение наложением
Сравнение измерением
Треугольник. Соотношения между углами и сторонами треугольника.
Геометрия
Сумма углов треугольника
Внешние углы треугольника
Сравнение сторон и углов треугольника
Неравенство треугольника
📺 Видео

Видео:Математика 3 класс. Как сравнить углы. Как измерить уголСкачать

Сравнение углов

Сравнить два угла — это значить узнать, какой из углов больше, какой меньше, или определить, что углы равны.

Сравнить углы можно двумя способами: наложением или измерением их величин.

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Сравнение наложением

Рассмотрим, как сравнивать углы путём наложения. Дано два угла, ∠BOA и ∠COA:

Чтобы выяснить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы вершина одного угла совпала с вершиной другого угла и сторона одного угла совместилась со стороной другого:

Мы видим, что ∠СOA составляет часть ∠BOA, поэтому ∠СOA меньше ∠BOA, это записывают так:

Если при наложении углов обе их стороны совмещаются, то углы равны.

Видео:Сравнение углов. Виды углов. Чертежный треугольник. 5 класс.Скачать

Сравнение измерением

При сравнении углов путём измерения их величин больше будет тот угол, у которого больше величина.

Пример. Сравнить два угла: ∠BOC и ∠MON.

Так как величина ∠BOC (60°) меньше, чем величина ∠MON (70°), то

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Треугольник. Соотношения между углами и сторонами треугольника.

Теорема.

Если любую сторону треугольника продолжить в одном направлении, то образовавшийся при этом внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Следствие из теоремы.

Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то два других угла будут острые.

Теорема. В любом треугольнике:

1. Напротив равных сторон расположены одинаковые углы.

2. Напротив большей стороны расположен больший угол.

Следствия из теоремы.

2. В разностороннем треугольнике одинаковых углов нет.

Обратные теоремы. В каждом треугольнике:

1. Напротив одинаковых углов расположены одинаковые стороны.

2. Напротив большего угла расположена большая сторона.

Следствия

1. Равноугольный треугольник является и равносторонним.

2. В треугольнике сторона, расположенная напротив тупого или прямого угла, больше других сторон.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№3 - Сравнение отрезков и углов.)Скачать

Геометрия

План урока:

Видео:Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Сумма углов треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:

Известно, что секущие образуют пары накрест лежащие углы, причем они равны. Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.

Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:

С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°:

В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:

Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?

Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.

Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:

Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.

Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:

В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.

Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?

Решение. Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:

Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:

Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:

Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!

Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.

Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?

Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:

Видео:Сравнение угловСкачать

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются смежными. Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем. Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Видео:Как сравнить углы, Как измерить уголСкачать

Сравнение сторон и углов треугольника

Докажем следующую теорему:

Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:

Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:

Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.

Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что

Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ AC.

Задание. В ∆АВС известны углы:

Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.

Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС

Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:

Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.

Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.

Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:

В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Неравенство треугольника

Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:

Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:

Так как AD = АС + СD, то нам достаточно показать, что АВ

Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.

Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:

Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.

Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?

Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.

Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется: