Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Задание №1183

Видео:Сечение Пирамиды Плоскостью Параллельной боковому ребруСкачать

Сечение Пирамиды Плоскостью Параллельной боковому ребру

Условие

Дана правильная четырёхугольная пирамида KMNPQ со стороной основания MNPQ , равной 6 , и боковым ребром 3sqrt .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую NF параллельно диагонали MP , если точка F — середина ребра MK .

б) Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью KMP .

Видео:№3. Как строить сечения пирамидСкачать

№3. Как строить сечения пирамид

Решение

а) Пусть KO — высота пирамиды, F — середина MK ; FE parallel MP ( в плоскости PKM ) . Так как FE — средняя линия triangle PKM, то FE=frac2.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через NF и параллельной MP , то есть плоскостью NFE . L — точка пересечения EF и KO . Так как точки L и N принадлежат искомому сечению и лежат в плоскости KQN , то точка T , полученная как пересечение LN и KQ , является также точкой пересечения искомого сечения и ребра KQ . NETF — искомое сечение.

б) Плоскости NFE и MPK пересекаются по прямой FE . Значит, угол между этими плоскостями равен линейному углу двугранного угла OFEN , построим его: LO perp MP, MP parallel FE, следовательно, LO perp FE; triangle NFE — равнобедренный ( NE=NF как соответствующие медианы равных треугольников KPN и KMN ) , NL — его медиана ( EL=LF, так как PO=OM, а triangle KEF sim triangle KPM ) . Отсюда NL perp FE и angle NLO — искомый.

ON=frac12QN=frac12MNsqrt 2=3sqrt 2.

triangle KON — прямоугольный.

Катет KO по теореме Пифагора равен KO=sqrt .

OL= frac12KO= frac12sqrt= frac12sqrt = frac12sqrt= frac32sqrt = frac32cdot 2sqrt 6= 3sqrt 6.

Видео:Построение сечения параллельно прямойСкачать

Построение сечения параллельно прямой

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Прямая АМ задана. Соединим точку М с вершиной С параллелепипеда и проведем диагональ АС в плоскости его основания.

Диагональ А1С1, лежащей в плоскости, параллельной основанию АВСD, параллельна диагонали АС.

АС ∈ построенной плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости.

Следовательно, плоскость АМС и прямая А1С1 — параллельны, и АМС — искомая плоскость.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮСкачать

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮ

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Как построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Построить сечение плоскостью (MNP)

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bdТочку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bdЧерез H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bdРассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bdкоторой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

Постройте сечение пирамиды плоскостью проходящей через прямую am параллельно прямой bd

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

📽️ Видео

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечениеСкачать

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечение

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.Скачать

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

Построение сечения пирамиды. Метод следов.Скачать

Построение сечения пирамиды. Метод следов.

Как строить сеченияСкачать

Как строить сечения

Построение линии пересечения поверхности пирамиды с проецирующей плоскостьюСкачать

Построение линии пересечения поверхности пирамиды с проецирующей плоскостью

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

Построение сечения пирамиды по трем точкам

Семестровая работа "Сечение пирамиды плоскостью"Скачать

Семестровая работа "Сечение пирамиды плоскостью"

Построение сечений Занятие 1Скачать

Построение сечений Занятие 1

№104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостьСкачать

№104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскость

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Пересечение пирамиды плоскостьюСкачать

Пересечение пирамиды плоскостью
Поделиться или сохранить к себе: