Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Векторное произведение векторов.
Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
рис. 1

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Свойства векторного произведения векторов

SΔ =1| a × b |
2

Видео:VECTORS\PROVE THAT THE GIVEN VECTORS i-2j+3k, -2i+3j-4k, i-3j+5k ARE COPLANAR VECTORSСкачать

VECTORS\\PROVE THAT THE GIVEN VECTORS i-2j+3k, -2i+3j-4k, i-3j+5k  ARE COPLANAR VECTORS

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

a × b =ijk=
123
21-2

= i (2 · (-2) — 3 · 1) — j (1 · (-2) — 2 · 3) + k (1 · 1 — 2 · 2) =

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =ijk=
-12-2
21-1

= i (2 · (-1) — (-2) · 1) — j ((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k ((-1) · 1 — 2 · 2) =

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Разложить вектор m по векторам a,b,cСкачать

Разложить вектор m по векторам a,b,c

Векторное произведение векторов

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

  • Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
  • Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:Как разложить вектор?Новый номер ЕГЭ #математикапрофиль #егэпрофильСкачать

Как разложить вектор?Новый номер ЕГЭ #математикапрофиль #егэпрофиль

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  1. Антикоммутативность
    Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
  2. Свойство дистрибутивности
    Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k
Сочетательное свойство
Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:let a=i+4j+2k ,b=3i-2j+7k and c=2i-j+4k, find a vector d which is perpendicular to both a and b ..Скачать

let a=i+4j+2k ,b=3i-2j+7k and c=2i-j+4k, find a vector d which is perpendicular to both a and b ..

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Затем векторное произведение:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Вычислим его длину:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Построить векторы а i j 4k b i 2j c 3i 3j 4k

12. Даны векторы a = i — 3j + 5k, b = 2i + j + 4k, с = j — k. Найти вектор . если .

13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: а) p = 4i + 4j, с = —2i + j; б) p = 3i — 2j + k, с = 3i + 5j + 2k.

14. Найти длину медианы AM и высоты AD в треугольнике ABC, если известно, что AB = 5i + 2j , BC = 2i — 4j.

15. Найти длину высоты CD в треугольнике, вершины которого находятся в точках A(2, 7), B(5, 3), C(6, 8).

16. Найти смешанное произведение векторов a = (7, 0, 1), b = (—2, 4, 4), с = (1, 5, 1).

17. Будут ли компланарны векторы .

18. Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(1, 1, 1), B(4, 2, —1), C(—3, 1, 4), D(2, 6, 0).

19. Найти высоту AK треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках A(4, —2, 7), B(1, —1, 6), C(7, 7, 1), D(3, 0, 4).

4.8. Образец теста (для дистанционной формы обучения)

1. Какому условию должны удовлетворять векторы a, b, чтобы .

Указать номер правильного ответа: 1) |a| = |b|; 2) a, b перпендикулярны; 3) a || b; 4) только если a, b нулевые.

2. Найти cos α + cos γ, где α и γ — углы, образованные вектором 8i + 4с + k с осями OX, OZ.

3. Найти скалярное произведение векторов a + b и 2a, если . угол между векторами a, b равен π/3.

4. Найти проекцию на ось OY вектора AB, если его начало и конец находятся в точках A(4, —2 ,1), B(7 ,1, 3).

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

🎦 Видео

Разложить вектор через два других #денисжучков #математика #егэСкачать

Разложить вектор через два других #денисжучков #математика #егэ

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

The vectors `3i - 2j + k, i - 3 j + 5k` and `2i + j - 4k` form the sides of a triangle. This tСкачать

The vectors `3i - 2j + k, i - 3 j + 5k` and `2i + j - 4k` form the sides of a triangle. This t

This chapter closes now, for the next one to begin. 🥂✨.#iitbombay #convocationСкачать

This chapter closes now, for the next one to begin. 🥂✨.#iitbombay #convocation

димастратция влияния радиации на теньСкачать

димастратция влияния радиации на тень

Let a=i+4j+2k b=3i-2j+7k and c=2i find a vector d which is perpendicular | Vector Miscellaneous Q 12Скачать

Let a=i+4j+2k b=3i-2j+7k and c=2i find a vector d which is perpendicular | Vector Miscellaneous Q 12

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

🇷🇺🇩🇪 Путин ведёт Россию в ад! За что убивают людей на чужой территории? #news #war #gurgen #путинСкачать

🇷🇺🇩🇪 Путин ведёт Россию в ад! За что убивают людей на чужой территории? #news #war #gurgen #путин
Поделиться или сохранить к себе: