Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Please wait.

Видео:Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108Скачать

Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d74a4af6ecd1640 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Углы, связанные с окружностью

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметрВписанные и центральные углы
Под каким углом из точек окружности виден ее диаметрУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Под каким углом из точек окружности виден ее диаметрДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Окружность / Планиметрия тип 3 / задача из ЕГЭ #27867Скачать

Окружность / Планиметрия тип 3 / задача из ЕГЭ #27867

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Вписанный уголПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный касательной и секущейПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный двумя касательными к окружностиПод каким углом из точек окружности виден ее диаметрПод каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Формула: Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Формула: Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

В этом случае справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

В этом случае справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметрДано:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметрСледовательно, по теореме о вписанном угле,

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Что и требовалось доказать.

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

Под каким углом из точек окружности виден ее диаметр

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

🔥 Видео

Геометрия Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружностиСкачать

Геометрия Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Как с помощью ФРЕЗЕРА Сделать Отверстие любого диаметра в ЛДСП, фанереСкачать

Как с помощью ФРЕЗЕРА Сделать Отверстие любого диаметра в ЛДСП, фанере

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Сперматозоид-чемпион | наглядно показано оплодотворениеСкачать

Сперматозоид-чемпион | наглядно показано оплодотворение

Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Построение 8 угольника циркулемСкачать

Построение 8 угольника циркулем

№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать

№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.
Поделиться или сохранить к себе: