- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- Geogebra — бесплатное он-лайн геометрическое приложение
- Равные векторы в трапеции
- Равные векторы в трапеции
- Разработка урока по теме «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
- «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
- Применение векторов к решению задач (продолжение)
- 🎦 Видео
Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать
Ваш ответ
Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
решение вопроса
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,929
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
Geogebra — бесплатное он-лайн геометрическое приложение
Geogebra — наилучшее он-лайн геометрическое приложение для рисования геометрических фигур.
Подождите. Идёт загрузка (прим. 1-2 минуты).
Открыть в полный экран
Открыть в полный экран
Это он-лайн приложение позволяет рисовать геометрические фигуры — точки, линии, углы, треугольники, многоугольники, круги.
Вы можете создавать анимиционную геометрию и слайды.
Если Вам не нужна система координат по умолчанию, Вы можете скрыть ее.
Видео:Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать
Равные векторы в трапеции
Видео:ГомотетияСкачать
Равные векторы в трапеции
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4. ^ $$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.
$$ 4. ^ $$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4. ^ $$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4. ^ $$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4. ^ $$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4. ^ $$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4. ^ $$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4. ^ $$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
$$ 4. ^ $$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4. ^ $$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4. ^ $$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Докажем, например, утверждение $$ 4. ^ $$ .
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
`d^2=c^2+ab`. |
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4. ^ $$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).
По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`
(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4. ^ $$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4. ^ $$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4. ^ $$
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
$$ 4. ^ $$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
$$ 4. ^ $$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.
$$ 4. ^ $$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.
Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать
Разработка урока по теме «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Видео:Строим проекции равнобедренной трапеции и определяем углы наклона ее высоты и плоскости к П1 и П2Скачать
«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Г – 9 класс Урок № 7
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Дидактическая: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов.
Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи; развивать воображение – репродуктивное, творческое, образное; абстрактное мышление, умение обобщать.
Воспитательная: нравственное воздействие, воспитание культуры умственного труда, культуры общения.
Знать, действия производимые с векторами, понятие средней линии трапеции, теорему о средней линии трапеции.
Уметь вычислять среднюю линию трапеции, решать задачи с помощью векторов.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
Повторение изученного материала.
1. Ответить на вопросы на с. 213–214.
2. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и .
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC = 3 : 4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем . Из условия следует, что , поэтому .
Таким образом, векторы и коллинеарные, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Доказательство оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = .
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .
2) Так как , то и, значит, MN || AD.
3) Так как , то = AD + BC, поэтому MN = (AD + BC).
Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику.
1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.
2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.
3. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому .
Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.
4. 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см).
2. Решить задачу № 795.
3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.
Тогда KD = AD – AK.
Но AK = , поэтому KD = AD – , то есть отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
5. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
По условию AC:CB=2 : 3,поэтому Но Следовательно, откуда получается
Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.
6. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.
Так как точка А1 – середина стороны ВС, то .
Далее
7. При наличии времени решить задачу 4.
Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 . Аналогично, .
Из этих равенств следует, что Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.
Подвести итоги урока, выставить отметки обучающимся за урок.
В результате изучения параграфа обучающиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.
Домашнее задание: изучить материал п. 87, 88; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.
Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать
Применение векторов к решению задач (продолжение)
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке мы рассмотрим применение векторов для решения различных геометрических задач, вспомним и докажем некоторые геометрические факты.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
🎦 Видео
№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
48. Осевая и центральная симметрииСкачать
№42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости,Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
№ 391 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать
8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать
№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать