Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот(Рис. 47): Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны Построить четырехугольник параллельный перенос и поворота координаты этой точки в старой системе координат равны Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотВ матричном виде эти равенства можно записать в виде Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотгде матрица перехода Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотобратную к матрице А: Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотЗапишем обратную матрицу Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Решение:

Воспользуемся полученными формулами Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотт.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотк каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотполучим Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства Построить четырехугольник параллельный перенос и повороттогда уравнение принимает вид Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотВыполним поворот системы координат на угол Построить четырехугольник параллельный перенос и повороттогда Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотПодставим найденные соотношения в уравнение параболы Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотгде параметр параболы Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Пример:

Преобразовать уравнение параболы Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотк каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотт.е. точка Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотПроведем поворот системы отсчета на угол Построить четырехугольник параллельный перенос и повороттогда

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Проведем следующее преобразование Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

Построить четырехугольник параллельный перенос и повороти новые координаты Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотполучим уравнение Построить четырехугольник параллельный перенос и повороткоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотмежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотявляются значения, лежащие в интервале Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотгде число Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу Построить четырехугольник параллельный перенос и повороти на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотПостроить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видПостроить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 52. Кардиоида Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рис. 53. Кардиоида Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Аналогично выглядят кардиоиды Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотно они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотВеличина Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотравна нулю при Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворотСкачать

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворот

Параллельный перенос и поворот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.

Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рисунок 3. Поворот

Готовые работы на аналогичную тему

Введем следующую теорему.

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:

[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]

Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Решение закончено.

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Решение закончено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021

Видео:Четырехугольник.Параллельный перенос.aviСкачать

Четырехугольник.Параллельный перенос.avi

§ 2. Параллельный перенос и поворот

Параллельный перенос

Пусть Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот— данный вектор. Параллельным переносом на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотравен вектору Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот(рис. 329).

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это. Пусть при параллельном переносе на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотточки М и N отображаются в точки М1 и N1 (см. рис. 329). Так как Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот, то Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот. Отсюда следует, что ММ1 || NN1 и MM1 = NN1, поэтому четырёхугольник MM1N1N — параллелограмм. Следовательно, MN = M1N1, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками М1 и N1 (случаи, когда точки М и N расположены на прямой, параллельной вектору Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот, рассмотрите самостоятельно). Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора Построить четырехугольник параллельный перенос и поворотна его длину.

Поворот

Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол а (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен α (рис. 330). При этом точка О остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки. На рисунке 330 изображён поворот против часовой стрелки.

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Поворот является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Докажем это. Пусть О — центр поворота, α — угол поворота против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точки М и N отображаются в точки М1 и N1 (рис. 331). Треугольники OMN и ОМ1N1 равны по двум сторонам и углу между ними: ОМ = ОМ1, ON = ON1 и ∠MON = ∠M1ON1 (для случая, изображённого на рисунке 331, каждый из этих углов равен сумме угла α и угла M1ON). Из равенства этих треугольников следует, что MN = M1N1, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками М, и N, (случай, когда точки О, М и N расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Итак, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол α.

Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот

Задачи

1162. Начертите отрезок АВ и вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот. Постройте отрезок А1В1, который получается из отрезка АВ параллельным переносом на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот.

1163. Начертите треугольник АВС, вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот, паралдельный стороне АС. Постройте треугольник А1В1С1, который получается из треугольника АВС параллельным переносом: а) на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот; б) на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот.

1164. Даны равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок BlD, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот. б) Докажите, что четырёхугольник ABB1D — равнобедренная трапеция.

1165. Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор Построить четырехугольник параллельный перенос и поворот.

1166. Постройте отрезок А1В1, который получается из данного отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

1167. Постройте треугольник, который получается из данного треугольника АВС поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.

1168. Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник АВС отображается на себя.

1169. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

1170. Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают.

1171. Постройте прямую а1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.

а) Построим окружность с центром О, которая касается прямой а (объясните, как это сделать). Пусть М — точка касания. При повороте вокруг точки О эта окружность отображается на себя, а касательная а отображается на некоторую касательную а1 (объясните почему). Для построения прямой ах построим сначала точку М1, в которую отображается точка М при повороте вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, а затем проведём касательную а1 к окружности в точке М1.

🔍 Видео

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей.  Эллипс

9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Движения. Симметрии. Параллельный перенос. Поворот. Урок 13. Геометрия 9 классСкачать

Движения. Симметрии. Параллельный перенос. Поворот. Урок 13. Геометрия 9 класс

Поворот фигуры. Построить поворот фигур вокруг точки на угол по часовой или против часовой стрелкиСкачать

Поворот фигуры. Построить поворот фигур вокруг точки на угол по часовой или против часовой стрелки

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия

Четырехугольник.Поворот фигуры.aviСкачать

Четырехугольник.Поворот фигуры.avi

ПоворотСкачать

Поворот

9 класс, 33 урок, ПоворотСкачать

9 класс, 33 урок, Поворот

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 класс

11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

параллельный перенос и поворотСкачать

параллельный перенос и поворот

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: