Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Единичная окружность

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Единичная окружность в тригонометрии
  2. Алгебра
  3. Числовая и единичная окружность
  4. Откладывание углов на единичной окружности
  5. Тригонометрические функции угла (дуги) в математике с примерами решения и образцами выполнения
  6. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги. Проекция вектора
  7. Положительные углы и дуги, меньшие 360°
  8. Углы и дуги, большие 360°
  9. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов
  10. Тригонометрические функции произвольного угла
  11. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2 пи
  12. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
  13. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них
  14. Значения тригонометрических функций некоторых углов
  15. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
  16. Понятие периодической функции
  17. Периодичность тригонометрических функций
  18. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов
  19. Формулы приведения
  20. 🔥 Видео

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

  • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
  • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
  • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
  • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

  • 2π радиан = 360°
  • 1 радиан = (360/2π) градусов
  • 1 радиан = (180/π) градусов
  • 360° = 2π радиан
  • 1° = (2π/360) радиан
  • 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Алгебра

План урока:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

Видео:Знаки тригонометрических функций. 9 класс.Скачать

Знаки тригонометрических функций. 9 класс.

Тригонометрические функции угла (дуги) в математике с примерами решения и образцами выполнения

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Векторы. Обобщение понятий угла и дуги. Проекция вектора

Вектором называется направленный отрезок в плоскости (в пространстве). При изучении тригонометрических функций мы будем рассматривать векторы в плоскости. С каждым вектором связывают понятия направления и длины (абсолютной величины, модуля).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Для вектора (рис. 73) применяются следующие обозначения:
Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где А — начало вектора, а В — его конец. Длина отрезка АВ называется длиной вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(его абсолютной величиной, модулем) и обозначается так: Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиили Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Для общности рассматривается и случай нулевого отрезка АА, начало которого совпадает с его концом. Такой отрезок называется нулевым вектором и обозначается через 0. Нулевой вектор имеет длину, равную нулю; ему не приписывается никакого направления.

Следует заметить, что всегда Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, причем Положительные и отрицательные дуги в единичной окружноститогда и только тогда, когда Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— нулевой вектор.

Для векторов не имеют смысла понятия «больше» или «меньше». Можно только говорить, что длина вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностибольше длины вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, и писать: Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Два Еектора а и b называются равными, если они:

1) параллельны одной и той же прямой,

2) одинаково направлены,

3) имеют равные длины, т. е. |a| = |b| (рис. 74).

Совокупность векторов с указанным выше определением равенства обычно называют системой свободных векторов. Термин «свободный вектор» связан с тем, что теперь один и тот же вектор может быть изображен направленным отрезком с началом в любой точке: его можно свободно переносить из точки в точку.

Каждому вектору Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиможно поставить в соответствие лежащий на заданной оси OL вектор Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностигде точки Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностисоответственно — проекции на ось OL точек А и В (рис. 75). Проекцией вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности на ось OL называется длина вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

взятая со знаком плюс, если направление вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностисовпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус в противном случае. Итак, проекция вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина ось есть по определению число (не вектор!). Условимся проекцию вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина ось OL обозначать так: Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Возможны следующие

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

случаи: a) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 75), б) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 76), в) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 77).

Рассмотрим теперь совокупность векторов, исходящих из одной точки (начала). Такая совокупность векторов называется центрированной. Примем эту общую точку за начало О декартовой прямоугольной системы координат Оху (см. п. 8).

Определение:

Вектор Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, имеющий своим началом точку О (начало координат) и своим концом произвольную точку М плоскости, называется радиусом-вектором точки М или подвижным радиусом (рис. 78). Радиус-вектор обозначается и так: r (М), т. е. Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Через х и у обозначим соответственно абсциссу и ординату точки М, а через r —длину (модуль) вектора . Следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Заметим, что координаты x и у точки М являются вместе с тем проекциями ее радиуса-вектора r (М) на оси координат.

Положительные углы и дуги, меньшие 360°

На координатной плоскости Оху рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат (рис. 79).

Будем считать, что угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиобразован вращением некоторого подвижного радиуса-вектора, абсолютная величина которого равна R, в направлении, противоположном движению часовой стрелки, от начального положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, совпадающего с положительным направлением оси Ох, до конечного положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Такой угол а считается положительным.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

При вращении (в направлении против движения часовой стрелки) подвижный радиус-вектор описывает углы от 0° до З60° (определение градуса см. в п. 165). Осями координат круг на рис. 79 делится на четыре четверти: первая четверть АОВ, вторая BОС, третья COD и четвертая DOА. Если сторона ОЕ угла АОЕ расположена в первой, второй, третьей или четвертой четверти, то угол АОЕ будем называть соответственно углом первой, второй, третьей или четвертой четверти. В первой четверти угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиизменяется в пределах от 0° до 90° Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, во второй—от 90° до 180° Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, в третьей—от 180° до 270° Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, в четвертой—от 270° до 360° Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Если подвижный радиус-вектор описал угол АОЕ, равный Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиугловым градусам, то его конец описал дугу окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, равную Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидуговым градусам. Начало этой дуги находится в точке А, а конец — в точке Е. Все сказанное выше об углах относится и к дугам.

Углы и дуги, большие 360°

Мы ограничивались углами от 0° до 360°. Между тем в различных задачах приходится иметь дело с вращениями, при которых совершается больше полного оборота, например с вращением маховика, с полетом спутника вокруг Земли и т. д. Эти задачи приводят к необходимости обобщения понятия угла (дуги), к необходимости введения углов (дуг), больших 360°. Рассмотрим угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 79). Этот угол может быть образован следующим образом: подвижный радиус-вектор из своего первоначального положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностисделал сначала n полных оборотов в направлении против движения часовой стрелки, а потом еще повернулся на угол а в том же направлении, и мы получили некоторый положительный угол который связан с прежним углом а следующей формулой:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии n — любое целое неотрицательное число. Угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(при Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности) будем называть положительным углом, большим 360° (при n = 1 и Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности = 0 получаем угол, равный 360°). Существует бесконечное множество углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностис начальной стороной Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии конечной стороной Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, которые записываются при помощи формулы (95.1). Например:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Если подвижный радиус-вектор описал угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то его конец описал дугу, равную сумме целого числа n полных окружностей и дуги Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Существует бесконечное множество дуг, имеющих данное начало А и данный конец Е. Все эти дуги также выражаются формулой (95.1), но градусы, входящие в эту формулу, следует понимать как дуговые.

Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов

Назовем вращение подвижного радиуса-вектора в направлении против движения часовой стрелки положительным, а в противоположном направлении (в направлении по движению часовой стрелки) — отрицательным. Угол, описанный при отрицательном вращении подвижного радиуса-вектора, назовем отрицательным углом.

Правило. Угол измеряется положительным числом, если он положительный, и отрицательным числом, если он отрицательный.

Пример:

На рис. 80 изображены два угла с общей начальной стороной Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии общей конечной стороной Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности: один равен +270°, другой —90°.

Сумма двух углов. Па координатной плоскости Оху рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 81). Пусть произвольный угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, совпадающего с положительным направлением оси Ох, до его конечного положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Примем теперь положение радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиза начальное и отложим от него произвольный угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

(на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо его конечного положения Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, конечное положение радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Разность двух углов. Под разностью двух углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, которую обозначим Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, мы будем понимать такой третий угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, который в сумме с углом Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидает угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, т. е. Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Разность двух углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиможно трактовать как сумму углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. В самом деле, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 82). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Пример:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, a Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, тогда

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, а угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Сумма их

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

В формуле (95.1) предполагалось, что n — любое целое неотрицательное число. Если же предположить, что n —любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), то при помощи формулы

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, n = 0, ±1, ±2, …, можно будет записать любой угол, как положительный, так и отрицательный.

Пример:

Угол, равный —1370°, можно записать так:

—1370° = 360° (—4)+ 70°.

Здесь n = —4, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности= +70°.

Заметим, что все углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, записанные при помощи формулы (96.1), при разных значениях n, но одном и том же а, имеют общие начальную (Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности) и конечную (Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности) стороны (рис. 79). Поэтому построение любого угла сводится к построению соответствующего неотрицательного угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, меньшего 360°. На рис. 79 углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностимежду собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Тригонометрические функции произвольного угла

Определение основных тригонометрических функций: Было дано общее определение функциональной зависимости (общее определение функции) и изучались некоторые элементарные функции. Теперь мы введем основные тригонометрические функции.

Пусть радиус-вектор Положительные и отрицательные дуги в единичной окружноститочки М образует угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностис осью Ох (рис. 84), причем х и у соответственно абсцисса и ордината конца М вектора, r — его модуль, а величина угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиизмеряется в градусах или в радианах (см. пп. 165, 166).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

1 . Синусом угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(обозначение: sin а) называется отношение ординаты у (см. рис. 84) к длине г радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

2. Косинусом угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(обозначение: cos a) называется отношение абсциссы х к длине r радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Ниже (замечание 1) мы покажем, что sin а и cos а, определенные равенствами (97.1) и (97.2), действительно зависят лишь от угла а (но не от радиуса окружности r).

3. Тангенсом угла а (обозначение: tg a) называется отношение синуса угла а к косинусу этого угла:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

4. Котангенсом угла а (обозначение: ctg a) называется отношение косинуса угла а к синусу этого угла:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

5. Секансом угла a (обозначение: sec а) называется величина, обратная cos а:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

6. Косекансом угла а (обозначение: cosec a) называется величина, обратная sin а:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Замечание:

Тригонометрические функции (97.1) — (97.6) действительно являются функциями только угла а, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор r образует с осью абсцисс данный угол а, то отношения х/r и у/r не зависят от длины радиуса-вектора; читатель легко в этом убедится.

Замечание:

Из определения tg a и ctg a следует, что

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Соотношения (97.7) и (97.8) можно было бы принять в качестве определений для tg a и ctg a.

Замечание:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Соотношения (97.9) и (97.10) можно было качестве определений для sec а и cosec a.

Замечание 4. Во всех определениях (97.1) — (97.6) мы предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, tg a имеет смысл, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, ctg a имеет смысл, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, и т.д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (97.1) — (97.6) угла а не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице (|r| = r = 1). Такой вектор называют единичным радиусом-вектором.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис. 85):

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Формулы для tg a и ctg a остались прежними (см. (97,7) и (97.8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (97.1), (97.2), (97.9) и (97.10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора.

Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от 0° до 360° опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис. 85). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов.

Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке А к неподвижному радиусу-вектору Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис. 86).

Рассмотрим угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

а) Если точка М единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, (точку пересечения продолжения ОМ с осью тангенсов, рис. 86, а).
б) Если точка М единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой сси тангенсов назовем точку Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(точку пересечения продолжения МО с ссыо тангенсов, рис. 86, б).

Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, (рис. 86) соответствующей точки оси тангенсов, т. е. всегда Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Докажем это для углов первых двух четвертей:

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 86, а). Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности—ордината точки Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 86, б). Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— абсцисса и ордината точки М. Из подобия прямоугольных треугольников Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиимеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Заметим еще следующее:

а) если точка М лежит на оси ординат (например, а = 270°), то соответствующей ей точки оси тангенсов не существует, но при этом и tg a также не существует;

б) в рассмотренных случаях 1) — 4) мы брали угол а в пределах от 0° до 360°, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол а любым.

Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, образующего с осью Ох угол, равный 90°) к оси ординат.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис. 87). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.

а) Если точка М единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(точку пересечения продолжения ОМ с осью котангенсов, рис. 87, а).

б) Если точка М единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(точку пересечения продолжения МО с осью котангенсов, рис. 87,б).

Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла а равен абсциссе х, соответствующей точки оси котангенсов, т.е. Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Если точка М лежит на оси абсцисс (например, а = 180°), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и ctg а также не существует.

Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2 пи

Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

В дальнейшем мы будем использовать не только градусную, но и радианную меру углов (см. п. 166); радианное измерение углов станет особенно важным при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента (п. 107). В связи с этим напомним некоторые факты из геометрии, относящиеся к градусной и радианной системам измерения углов и дуг:

1) при измерении углов и дуг в радианной системе наименование единицы измерения — радиана обычно опускают и говорят, например, «угол равен Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности» вместо «угол равен Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностирадиана»; «угол равен 1000» вместо «угол равен 1000 радиан»;

2) при переходе от градусной меры (а градусов) к радианной мере (а радиан) пользуются формулой

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

3) при переходе от радианной меры (а радиан) к градусной мере (а градусов) пользуются формулой

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Полезно запомнить соответствующие значения в градусной и радианной мере некоторых наиболее часто встречающихся углов, приведенные в следующей таблице.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Рассмотрим теперь, как изменяется (по абсолютной величине и знаку) каждая из основных тригонометрических функций при изменении угла а от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. За их изменением проследим, пользуясь единичной окружностью (см. п. 97).

I. sin а. Согласно первой формуле (97.11) sin a = у, где у — ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора (см. рис. 85).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(первая четверть). Если углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиудовлетворяют неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 88), то Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиследовательно, и Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла a от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиsin а монотонно возрастает от 0 до 1.

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(вторая четверть). Если углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиудовлетворяют неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 89), то Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, следовательно, и Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиsin а монотонно убывает от 1 до 0.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

3) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(третья четверть). При возрастании угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиsin а монотонно убывает Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот 0 до —1 (рис. 90).

4) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(четвертая четверть). При возрастании утла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиsin а монотонно возрастает Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот —1 до 0 (pиc. 91).

Вывод. При любом угле а абсолютная величина sin а не превосходит 1, что записывается так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

или в равносильной форме:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

II. cos а. По второй формуле (97.11) cos a = x, где х — абсцисса конца подвижного единичного радиуса-вектора (рис. 85).

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(первая четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 92, а), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиcos а монотонно убывает от 1 до 0.

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(вторая четверть). При возрастании угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиcos а монотонно убывает (Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности) от 0 до —1 (рис. 92, а).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

3) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(третья четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 92, б), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиcos а монотонно возрастает от —1 до 0.

4) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(четвертая четверть). При возрастании угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиот Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиcos а монотонно возрастает (Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности) от 0 до 1 (рис. 92, б).

Вывод. При любом угле а абсолютная величина cos а не превосходит 1, что записывается так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

или в равносильной форме:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

III. tg a. Тангенс угла а численно равен ординате соответствующей точки оси тангенсов (см. п. 97).

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(первая четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 93), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиtg a неограниченно возрастает. Заметим, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностине существует. Если угол а приближается к Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, оставаясь меньше Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то tg a неограниченно возрастает (tg a стремится к плюс бесконечности).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Сходное положение встречалось при изучении функции у = 1/х; если х приближается к нулю, оставаясь больше нуля, то у = 1/х стремится к плюс бесконечности.

Это же условно записывают так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(вторая четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 94), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности tg a возрастает до нуля.

Если а стремится к Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, оставаясь больше Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то tg a неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным (tg a стремится к минус бесконечности). Это записывается так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

3) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(третья четверть). Тангенс ведет себя так же, как и в первой четверти, т. е. возрастает от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Если а стремится к Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, оставаясь меньше Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то tg a стремится к плюс бесконечности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

4) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(четвертая четверть). Тангенс ведет себя так же, как и во второй четверти, т. е. возрастает от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо 0. Р екомендуем читателю сделать соответствующий рисунок, аналогичный рис. 94.

Если а стремится к Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, оставаясь больше Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то tg a стремится к минус бесконечности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

IV. ctg a. Котангенс угла а численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов (см. п. 97).

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(первая четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 95), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиctg a убывает до нуля. Если а стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то ctg a стремится к плюс бесконечности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(вторая четверть). Для углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 96), выполняется неравенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности( Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. При возрастании угла а от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиctg a убывает от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Если а стремится к Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, оставаясь меньше Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то ctg a стремится к минус бесконечности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Разбор поведения ctg a в остальных четвертях предоставляется читателю. Приведем только окончательные результаты:

3) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(третья четверть). ctg a убывает от Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностидо 0; при Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

4) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(четвертая четверть), ctg a убывает от 0 до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; при Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Основные тригонометрические тождества: Между основными тригонометрическими функциями произвольного угла а имеются следующие тождественные соотношения:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Доказательство. Принимая |r| = r = 1, получим (для произвольного угла a) sin а = у, cos a = x, где х и y — проекции единичного радиуса-вектора на оси координат (см. рис. 85). По теореме Пифагора (см. п. 216) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, так как |r|=1, откуда

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

Тождества (99.2) и (99.3) служат соответственно определениями функций tg a и ctg a (см. формулы (97.3) и (97.4)).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

Тождества (99.4) и (99.5) служат соответственно определениями функций sec а и cosec а (см. формулы (97.5) и (97.6)).

Тождества (99.1)—(99.5) назовем основными. При помощи этих основных тождеств выведем так называемые дополнительные тождества.

6. Перемножив почленно тождества (99.2) и (99.3), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

7. Разделив тождество (99.1) почленно на Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, при условии, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

8. Разделив тождество (99.1) почленно на Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, при Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиусловии, что sin а Ф 0, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, … .

При помощи тождеств (99.1)—(99.8) можно производить преобразования различных выражений, содержащих тригонометрические функции, и получать новые тождества. Пример 1. Доказать тождество

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Решение:

Заменив в левой части tg a и ctg a их выражениями по формулам (99.2) и (99.3), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

После выполнения тождественных преобразований левая часть равенства совпала с правой. Исходное тождество этим доказано.

Это же тождество можно доказать и по-другому, воспользовавшись формулами (99.7) и (99.8), а затем формулами (99.4) и (99.5). Рекомендуем это сделать читателю.

Пример:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Решение:

Используя тождество (99.1), получаем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Подставив (99.9) и (99.10) в (*), будем иметь

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них

При помощи формул (99.1)—(99.8) можно выразить (с точностью до знака) через любую из шести тригонометрических функций угла а остальные пять функций. Мы ограничимся только функциями sin a, cos а и tg a.

1 . Выражение через sin а. Из тождества (99.1) находим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Подставив найденное значение cos а в тождество (99.2), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, …

2. Выражение через cos а. Из тождества (99.1) находим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Подставив найденное значение sin а в тождество (99.2), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, …

3. Выражение через tg a. Из тождества (99.7) находим Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Подставив значение sec а в тождество (99.4), получим из него

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, …

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ±1, ±2, …

При извлечении квадратного корня знак следует выбирать в зависимости от того, в какой четверти находится угол а.

Пример:

Известно, что cos a = —3/5 и 180° 0, ctg a > 0, sin a Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

В дальнейшем мы будем использовать следующий факт:

Для того чтобы два действительных числа х и у можно было принять за cos а и sin а одного и того же угла а, необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице: Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Доказательство:

Необходимость. Если х = cos а и у = sin а, то по тождеству (99.1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, т. е. Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Достаточность. Рассмотрим радиус-вектор Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 85) с проекциями х и у. Так как по условию Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то длина этого вектора равна 1. Следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности—единичный радиус-вектор. Согласно первым двум формулам (97.11) sin а = у и cos a = x, где а — угол, образованный подвижным единичным радиусом-вектором Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии положительным направлением оси Ох.

Пример:

Могут ли sin а и cos а одного и того же угла a быть равными соответственно: а) 12/13 и —5/13; б) 1/3 и —2/3?

Решение:

а) Числа 12/13 и —5/13 обладают тем свойством, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Следовательно, по доказанному существует такой угол а, для которого sin a = 12/13 и cos a = —5/13.

б) Для чисел 1/3 и —2/3 имеем Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Следовательно, числа 1/3 и —2/3 нельзя принять за sin а и cos a одного и того же угла а.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Воспользовавшись сведениями из геометрии, найдем значения тригонометрических функций углов 30°, 45° и 60° (или соответственно в радианной мере углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности).

1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 98). На основании теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, заключаем, что

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

(поскольку r = 1). Воспользовавшись теперь формулами (100.1), (99.2) и (99.6), легко вычислим:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 99). В данном случае проще начинать с вычисления тангенса:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

ибо у = х. Воспользовавшись теперь формулами (100.5), (100.6) и (99.6), легко найдем:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

3) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 100). По определению косинуса Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. В нашем случае х = 1/2, следовательно,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Далее воспользуемся формулами (100.3), (99.2) и (99.6):

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Присоединяя к полученным результатам результаты п. 98, составим следующую таблицу значений тригонометрических функций некоторых часто встречающихся углов.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

О поведении tga a окрестности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностив окрестности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностисм. п. 98.

Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций

Четность и нечетность: Напомним (см. п. 33), что функция y = f(x) называется четной, если для всех допустимых значений аргумента х имеет место тождество

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Функция y = f(x) называется нечетной, если для всех допустимых значений аргумента x имеет место тождество

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Для тригонометрических функций справедлива следующая

Теорема:

Функции cos а и sec а являются четными, т.е.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

а функции sin а, tg a, ctg a и cosec а являются нечетными, т. е.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Доказательство:

Рассмотрим два угла, образованных единичным радиусом-вектором r: Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 101). Заметим, что абсцисса точек Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиодна и та же (х).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Согласно второй формуле (97.11) имеем cos a = x и cos (—а) = х, следовательно,

cos(—a) = cosa. (102.1)

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Так как равенство (102.1) справедливо для любого угла а, то мы доказали, что cos (— a) = cos a.

Четность sec a (см. формулу (99.4)) доказывается так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Заметим, далее, что ординаты точек Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностипротивоположны по знаку (ВЕ = у, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности). Согласно первой формуле (97.11) имеем sin a = у и sin(—a) = — у, следовательно,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Используя формулу (99.2), а также тождества (102.1) и (102.3), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Для доказательства нечетности ctg a воспользуемся тождествами (99.6) и (102.4):

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Рекомендуем читателю доказать, что справедливо и тождество

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Найти значения тригонометрических функций угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Используя нечетность функций sin a, cosec а, tg a и ctg a, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Используя четность функций cos а и sec а, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Понятие периодической функции

Тригонометрические функции обладают свойством периодичности, которое определяется в общей форме следующим образом.

Определение. Функция f (х) называется периодической с периодом Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, если для любого x выполнено условие: если функция определена в одной из точек х или х + Т, то она определена и во второй точке, и ее значения в обеих точках равны между собой:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Число Т называется в этом случае периодом функции f(x). Докажем следующее предложение:

Если Т — период функции f(x), mo и любое из чисел , п = —1, ±2, … , также является периодом f(x).

Доказательство:

Прозедем сначала доказательство для —Т. Для этого рассмотрим пару значений аргумента х и х+(—Т)=х—Т. Из записи

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

видно (в силу определения периодичности), что если функция определена в одной из точек х—Т, х, то она определена и во второй точке. Далее устанавливаем равенство f/(х—T) = f(x):

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Доказательство того, что при натуральном n является периодом функции f(x), проведем по индукции (случай отрицательного n сводится к этому заменой Т на —Т). Итак, требуется установить, что если f(х) определена в одной из точек x, х + nТ,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

то она определена и во второй точке, причем f (x) = f (х + nТ). Допустим, что утверждение теоремы уже доказано для некоторого n = k (оно, например, очевидно при n = 1). Докажем, что оно останется верным и для n = k + 1. Прежде всего, в силу того, что Т — период, замечаем, что если одно из значений аргумента x + kT и x + (k + l)T = (x + kT) + T принадлежит области определения функции, то ей принадлежит и второе значение. Так как, по предположению индукции, такое же положение справедливо и для пары точек х и x + kT, то видно, что точки х и х + (k + 1)T принадлежат (или не принадлежат) области определения f(х) одновременно. Далее устанавливаем равенство значений f(x) в точках x и x + (k + 1)T:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

(последнее — по предположению индукции).

Доказано, что — период функции при любом целом n. Наименьший положительный период функции (если он существует) называется основным периодом.

Пример:

Функция f(х) = с (с — постоянная величинa) имеет своим периодом любое число. Основного периода здесь нет. График этой функции изображен на рис. 102.

Пример:

Напомним, что целой частью числа х (обозначение: [x]) называется наибольшее целое число, не превосходящее х (п. 4). Целая часть х есть функция от х; ее график показан на рис. 103.

Дробной частью числа х (обозначение: (x)) мы назвали (п. 4) разность между х и его целой частью:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Дробная часть х является периодической функцией с основным периодом T = 1. Действительно,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

и так как очевидно, что [x + 1] = [х] + 1,то

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

График дробной части х показан на рис. 104.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

а) Рассмотрим следующую функцию f(х), определенную для х, удовлетворяющих неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

График функции изображен на рис. 105.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

б) С помощью этой функции f(x), приняв за основной период число T = 2, построим периодическую функцию F (х):

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

График функции F (х) изображен на рис. 106.

Периодичность тригонометрических функций

Одним из важных свойств тригонометрических функций является свойство периодичности, с которым мы в общем виде познакомились в п. 103. Докажем следующую теорему о периодичности тригонометрических функций.

Теорема:

Тригонометрические функции sin a, cos а, tg a, ctg a, sec а и cosec а являются периодическими функциями, причем основной период функций sin a, cos a, sec а и cosec а равен Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(360°), а основной период функций tg a и ctg a равен Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности (180°)).

Пока мы рассматриваем тригонометрические функции угла, и период Т следует рассматривать как угол; это замечание сохраняет силу вплоть до п. 107, где вводятся тригонометрические функции числового аргумента.

Доказательство:

В пп. 95 и 96 мы ввели углы вида Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии n — целое число (положительное, отрицательное или нуль). В радианной мере эти углы можно записать в виде Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль). Напомним, что все углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностипри разных значениях n, но одном и том же а имеют общие начальную Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии конечную Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностистороны (см. п. 96). Если воспользоваться первой из формул (97.11) для определения синуса, то получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

если воспользоваться второй из формул (97.11) для определения косинуса, то получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

так как соответствующие значения х и у для угла а и углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиодинаковы (рис. 107).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Аналогичный результат получается и для других тригонометрических функций. Мы приходим к следующим формулам:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где n = 0, ±1, ±2, …

Этим уже доказано, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиявляется периодом для всех основных тригонометрических функций. Покажем, что для тангенса и котангенса справедливы также следующие формулы:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

где n = 0, ±1, ±2, ...

Рассмотрим два случая.

а) n = 2k, т. е. n — четное число (k = 0, ± 1, ±2, …). В этом случае имеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Здесь мы использовали полученные ранее формулы (104.1),

б) n = 2k + 1, т. е. n—нечетное число (k = 0, ±1, ±2, …). В этом случае имеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Здесь мы использовали формулы (104.1).

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Из геометрических соображений (рис. 108) следует, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностигде х и у — координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора r, образующего с осью абсцисс угол a, a Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— координаты конца подвижного единичного радиуса-вектора Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, образующего с осью абсцисс угол а. Мы имеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Аналогично получаем Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Следовательно, при любом n = 0, ± 1, ±2, … имеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Для углов в градусной мере аналогичные формулы получим, заменив в формулах (104.1) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 360°n и в формулах (104.2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 180°n. Этим доказано, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(или 180°) — период для функций tg a и ctg a. Остается доказать, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— основной период для sin a, cos a, sec a и cosec a, а Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— основной период для tg a и ctg a. Докажем это только для sin a, а для остальных основных пяти функций советуем это сделать читателю.

Доказательство:

Требуется показать, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности— наименьший положительный угол такой, что для всех а выполняется равенство sin (a + Т) = sin а. Проведем доказательство от противного. Допустим, например, что существует угол А такой, что

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Так как в последнем равенстве а может быть любым (ведь это равенство, по предположению, выполняется тождественно), то должно выполняться, например, равенство

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Но sin a = l только для аргументов а вида Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где n = 0, ±1, ±2, … . Следовательно, должно выполняться равенство Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, откуда следует, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Мы пришли к противоречию, предположив, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Для sin а наше утверждение доказано. Аналогично оно доказывается и для других тригонометрических функций.

Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов

Углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиназовем дополнительными до Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Сходными (по названию) тригонометрическими функциями будем соответственно называть синус и косинус, тангенс к котангенс, секанс и косеканс.

Теорема:

Сходные тригонометрические функции дополнительных углов равны между собой.

Доказательство:

Докажем сначала, что

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Предположим для определенности, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности: тогда угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиудовлетворяет неравенствам — Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Построим теперь с помощью подвижного единичного радиуса-вектора r углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(рис. 109). Заметим, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(они прямоугольные, имеют равные гипотенузы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии равные острые углы:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Из равенства треугольников имеем Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Следовательно,

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

откуда Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, но в силу нечетности синуса Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, и мы имеем Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Аналогично доказывается, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Для остальных функций можно доказательство вети так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

При выводе формул (105.3) и (105.4) мы пользовались только что доказанными формулами (105.1) и (105.2).

Замечание:

При доказательстве теоремы мы считали, что угол а задан в радианах. Соответствующие формулы для угла а, измеренного в градусной мере, легко получить из формул (105.1) —(105.4), заменив Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 90°.

Замечание:

При доказательстве теоремы мы предположили для определенности, что угол а удовлетворяет неравенствам Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Можно показать, что теорема остается в силе и в случае любого угла а (как положительного, так и отрицательного).

Пример:

Заменить данные тригонометрические функции тригонометрическими функциями дополнительного угла:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностичерез тригонометрические функции угла а, где а — произвольный (допустимый) угол. Сами тригонометрические функции этих углов будем называть приводимыми тригонометрическими функциями. Будем говорить для краткости, что углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиобразованы откладыванием угла а от оси Ох (от горизонтальной оси), а углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиобразованы откладыванием угла а от оси Оу (от вертикальной оси).

Пользуясь возможностью произвольного выбора угла а в формулах (105.1) — (105.4), получим новые важные формулы (мы ограничимся функциями sin a, cos a, tg a и ctg a).

а) Заменив в формулах (105.1)—(105.4) а на —а, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

б) Заменив в формулах (106.1) a на Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, а следовательно, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

(мы снова воспользовались тем, что формулы (106.1) справедливы для произвольного угла а). Так как Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиявляется основным периодом для tg a и ctg a (см. п. 104), то

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

в) Аналогично получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Рекомендуем читателю доказать, что

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

г) Заменив в формулах (106.2) и (106.3) а на —а, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

д) Заменив в формулах (106.4) и (106.5) а на —а, получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

е) В силу того, что Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиявляется периодом для всех основных тригонометрических функций, будем иметь

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

ж) Аналогично е), будем иметь

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Рекомендуем читателю написать формулы, аналогичные формулам (106.1)—(106.8), для углов в градусной мере, заменив в последних Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 90°, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 180°, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 270° и Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 360°.

Пример:

Пользуясь формулами приведения, найти значения следующих тригонометрических функций (или выразить их через значения тригонометрических функций острых углов): а) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; б) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; в) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

а) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружности;

б) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружности;

в) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Пример:

Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Сформулируем теперь общее правило приведения:

1) если угол а откладывается от вертикальной оси (углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), то название приводимой функции меняется на сходное; если же угол а откладывается от горизонтальной оси (углы Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), то название приводимой функции сохраняется;

2) если приводимая функция имеет отрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком минус, если же приводимая функция имеет неотрицательное значение, то нужно соответствующую функцию угла а взять со знаком плюс.

Проиллюстрируем это правило на примере угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Заметим еще раз, что правило приведения справедливо для любого угла а, но для простоты запоминания и иллюстрации этого правила мы считаем а острым положительным углом.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Итак, на рис. 110 угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Требуется выразить тригонометрические функции угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностичерез тригонометрические функции острого положительного угла а. Заметим, что угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Согласно правилу приведения нужно выяснить:

1) соответствующие названия тригонометрических функций; 2) знаки приводимых тригонометрических функций.

1) Так как угол а откладывается от горизонтальной оси (угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиимеет вид Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности), то названия приводимых функций сохраняются.

2) Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Учитывая 1) и 2), имеем

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

так как Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, то

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Мы пришли к формулам (106.2) и (106.3). Рекомендуем читателю проиллюстрировать на чертеже типа рис. 110 правило приведения для остальных углов (Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности). Мы формулировали определения и правило для случаев, когда углы измерялись в радианах, но все остается в силе, если всюду заменить Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 90°, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 180°, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 270°, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностина 360°, а угол а считать заданным в градусной мере.

Объединим полученные для формул приведения результаты в следующую таблицу.

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Для произвольного угла Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности(см. формулу (96.1)), или Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, где Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности; n = 0, ± 1, ±2, …, если угол дан в радианах, задача отыскания Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностис помощью формул (104.1) и (104.2) сводится к отысканию тригонометрических функций угла а.

Пример:

Дан угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Представим данный угол в виде Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностиПоложительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Применив формулы (104.1) и (104.2), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Заметим, что тангенс и котангенс можно было бы вычислить и так:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, если Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Представим данный угол в виде

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Применив формулы (104.1), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Тангенс и котангенс найдем следующим образом:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Имеем угол Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности. Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности, Положительные и отрицательные дуги в единичной окружностии Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Представим данный угол в виде

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Применив формулы (104.1) и (106.1), получим

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Найти Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности.

Решение:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Пример:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Решение:

Применив формулы приведения, получим в левой части предполагаемого тождества

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

т. е. левая часть равна 1. Мы пришли к верному равенству, что и доказывает наше тождество.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности Положительные и отрицательные дуги в единичной окружности

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔥 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

Что такое радиан?Скачать

Что такое радиан?

Тригонометрические функции и их знакиСкачать

Тригонометрические функции и их знаки

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1Скачать

Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Тригонометрическая окружностьСкачать

Тригонометрическая окружность
Поделиться или сохранить к себе: