Вектор свободных коэффициентов это

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Определение СЛАУ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

$$left<begin a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ \ a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ \ ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots . . \ a_ cdot x_+a_ cdot x_+ldots+a_ cdot x_=b_ endright.$$

Упорядоченный набор значений $$left<x_^, x_^, ldots, x_^right>$$ называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Задание. Проверить, является ли набор $$ решением системы $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:

$$5 x+y=3 Rightarrow 5 cdot 0+3=3 Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор $$ является решением системы $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Виды систем

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$

Система $left<begin 5 x+y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов $$ это не выполняется.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Система $left<begin 3 x-2 y=-6 \ 5 x+y=3 endright.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

Задание. Систему $left<begin x-y+z-4 t=0 \ 5 x+y+t=-11 endright.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:

$$A=left(begin 1 & -1 & 1 & -4 \ 5 & 1 & 0 & 1 endright)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$left(begin 1 & -1 & 1 & -4 \ 5 & 1 & 0 & 1 endright)left(begin x \ y \ z \ t endright)=left(begin 0 \ -11 endright)$$

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Расширенная матрица системы

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $left<begin 2 x_+x_-x_=4 \ x_-x_=5 endright.$

Решение. Матрица системы $A=left(begin 2 & 1 & -1 \ 1 & -1 & 0 endright)$ , тогда расширенная матрица $tilde=(A mid B)=left(begin 2 & 1 & -1 & 4 \ 1 & -1 & 0 & 5 endright)$

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Видео:Решение СЛАУ в SMathСкачать

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Числа называются коэффициентами системы ; — свободными членами , — неизвестными . Количество уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу неизвестных.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел такая, что после замены неизвестных соответственно числами каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. Система называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной .

Система (5.1) называется однородной , если все свободные члены равны нулю:

В отличие от однородной, систему общего вида (5.1) называют неоднородной .

Систему (5.1) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу системы

свободные члены записываем в столбец свободных членов

а неизвестные — в столбец неизвестных

Матричная запись неоднородной системы уравнений (5.1) имеет вид

Матричную запись (5.3) системы уравнений можно представить в эквивалентной форме

Тогда решение системы представляется столбцом и удовлетворяет равенству

т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы.

Относительно системы уравнений нас интересуют ответы на следующие вопросы:

1. Совместна система или нет?

2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или нет?

3. Если решение единственное, то как его найти?

4. Если система имеет бесконечно много решений, то какова структура множества решений?

5. Как в бесконечном множестве решений системы определить одно решение, наилучшее с практической точки зрения?

6. Если система несовместна, то как определить ее приближенное решение?

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Правило Крамера

Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных , т.е. систему

где матрица системы — квадратная n-го порядка:

Ее определитель обозначим

Теорема 5.1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение . Так как определитель матрицы отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение имеет единственное решение:

где — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца , учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы

Заметим, что в скобках записано разложение определителя по i-му столбцу, т.е. , что и требовалось доказать.

1. На практике при больших правило Крамера не применяется, так как вычисление определителя n-го порядка требует большого числа арифметических операций. Поэтому применяются более экономичные алгоритмы. Обычно, правило Крамера используется, когда нужно найти только несколько неизвестных (например, одну) среди многих. В теоретических исследованиях правило Крамера незаменимо и используется весьма продуктивно.

2. Если и хотя бы один определитель , то система несовместна. Если , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера

Решение. Составим матрицу системы . Вычислим ее определитель

Так как определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение (см. теорему 5.1). Находим определители и неизвестные

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (02)Скачать

Условие совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему (5.3) линейных уравнений с неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы :

Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.

Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .

Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы ее ранг не изменяется. Следовательно, .

Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства следует, что базисный минор матрицы является базисным минором расширенной матрицы . Поэтому столбец является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы , а, значит, и всех столбцов матрицы . Следовательно, существуют числа , удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.

Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.

Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения

Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы

Ранг матрицы равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы

Следовательно, . Поэтому система несовместна (не имеет решений).

🌟 Видео

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

2.2. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Метод ГауссаСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравненийСкачать

Решение СЛАУ в пакете MathCadСкачать

Системы линейных уравнений / высшая математикаСкачать