Найти число и вектор фробениуса матрицы

Число и вектор Фробениуса

Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц являются важными характеристиками функционирования экономических систем. Особое место среди неотрицательных матриц занимают неразложимые матрицы.

Определение 2.2. Матрица А называется неотрицательной (положительной) и обозначается А > О >0), если все ее элементы неотрицательны (положительны).

Определение 2.3. Неотрицательная квадратная (п х п)-матрицаА называется разложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду

Найти число и вектор фробениуса матрицы

где 0 — нуль-матрица; аЛ| иЛ2 — квадратные матрицы размеров г х г и (« — г) х х (л — г) соответственно; в противном случае матрица называется неразложимой.

Замечание 2.4. Любая положительная матрица неразложима.

Замечание 2.5. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит о том, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономная подсистема. Так, если элемент a,j матрицы Л показывает, какое количество продукции /-й отрасли используется ву’-й отрасли, то разложимость матрицы А говорит о том, что существует группа отраслей, не использующих продукцию остальных отраслей. Неразложимость матрицы А показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом использует продукцию всех отраслей.

Замечание 2.6. Квадратная матрица Л размера 2×2 разложима тогда и только тогда, когда либо а2 = 0, либо а2 = 0.

Действительно, если а2 = 0, то матрица Л уже приведена к виду (2.3). Если же аи = 0, то, меняя местами первую и вторую строку, а затем первый и второй столбец (т.е. перенумеровав индексы), мы приведем матрицу к виду (2.3).

Замечание 2.7. Из разложимости матрицы Л в общем случае не следует разложимость матрицы Л 2 . Так, например, матрица Л = 1 —

неразложима, а Л = ^ ^ J — разложима.

Теорема 2.1 (Фробениуса — Перрона). Неотрицательная матрица А имеет такое собственное значение ХА > 0, что ХА> |А.| для любого собственного значения X матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор хА, соответствующий собственному числу ХА. Причем, если А неразложима, то ХА > 0 и существует хА >0.

Определение 2.4. Собственное значение ХА неотрицательной матрицы А называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор хА > 0 — Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы А.

Пример 2.1. Пусть А = . Данная матрица неразложима. У нее

существуют два собственных значения: число Фробениуса ХА = 4 с собственным вектором хА = (2; 1)/ (он является вектором Фробениуса при t > 0) и собственное значение Х2 —1, ему соответствует собственный вектор х = t (—2; 1) (/ ф 0). Очевидно, что ХА > (Х2).

Пример 2.2. Пусть А = . Данная матрица разложима. У нее

существуют два собственных значения: ХА = 3 — Фробениусово число, ему соответствует собственный вектор А > 0 при t > 0), и собственное значение Х2 = 1 с собственным вектором х = t (— 1; 1)(/*0).

Замечание 2.8. Так как собственные значения матриц Л и ^совпадают, то числа Фробениуса данных матриц равны.

Пусть рА вектор Фробениуса матрицы А т , тогда

Найти число и вектор фробениуса матрицы

Транспонируя это равенство, мы получим (напомним, что в следующем равенстве А) т рассматривается как вектор-строка)

Найти число и вектор фробениуса матрицы

Поэтому весьма естественно говорить о векторах р/ и хЛ как соответственно о левом и правом векторах Фробениуса матрицы А.

Следствие 2.1. Если матрица А > 0 неразложима, то кроме вектора хА (определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неотрицательных собственных векторов.

В самом деле, пусть существует вектор у > 0 такой, что Ау = Ху.

Тогда, умножив это равенство слева на А) Т , получим

Найти число и вектор фробениуса матрицы

Так как pj > 0, то р/ ? у > 0. Следовательно X = кА. То есть все неотрицательные собственные векторы будут соответствовать кА. Более того, в силу Теоремы Фробениуса — Перрона у > 0. Предположим, что векторы и у линейно независимы. Так как эти векторы определены с точностью до положительного множителя, то мы можем считать, что первая координата у них равна 1. Тогда вектор хА — у будет собственным вектором матрицы А, соответствующим ХА, но первая координата будет равна нулю, что противоречит Теореме Фробениуса — Перрона для неразложимой матрицы, следовательно, хА и у линейно зависимы, т.е. xA = ty 0).

Следствие 2.3. Пусть А> 0, тогда <),А) к является число Фробениуса А к .

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Теорема Фробениуса – Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства

Теорема(Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрицаА имеет такое собственное значение Найти число и вектор фробениуса матрицы, что Найти число и вектор фробениуса матрицыдля любого собственного значения Найти число и вектор фробениуса матрицыматрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор Найти число и вектор фробениуса матрицы, соответствующий собственному числу Найти число и вектор фробениуса матрицы. Причем, если А неразложима, то Найти число и вектор фробениуса матрицыи существует Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Определение 1. Собственное значение Найти число и вектор фробениуса матрицынеотрицательной матрицыА называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор Найти число и вектор фробениуса матрицыФробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы А.

Для определения числа Фробениуса Найти число и вектор фробениуса матрицынеотрицательной матрицыА необходимо решить уравнение (2), а затем среди корней (собственных значений Найти число и вектор фробениуса матрицы) выбрать максимальное неотрицательное значение. Вектор Фробениуса находят из уравнения (1), подставив в него вместо Найти число и вектор фробениуса матрицычисло Фробениуса Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Числа Фробениуса имеют ряд свойств, с которыми можно познакомиться в учебнике [2]. Одно из этих свойств дает простой способ определения числа Фробениуса матрицы: если все суммы элементов строк ( или столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу Найти число и вектор фробениуса матрицы, то число Фробениуса Найти число и вектор фробениуса матрицыравно Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Найти число и вектор фробениуса матрицы; Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Тогда Найти число и вектор фробениуса матрицы=6, так как суммы элементов каждого столбца матрицыА равны 6, и Найти число и вектор фробениуса матрицы=3, так как суммы элементов каждой строки матрицы В равны 3.

Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли [6]. Так, равновесный вектор национального дохода в модели международной торговли является вектором Фробениуса структурной матрицы международного обмена. Кроме того,
один из критериев продуктивности матрицы, которые будут рассмотрены ниже, формулируется в терминах числа Фробениуса[2].

4.2. Модель Леонтьева[6] многоотраслевой экономики

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями экономической системы. Каждая отрасль при этом выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой, как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли? Экономическая система, для которой применяется метод межотраслевого анализа, может быть большой (экономика страны) или малой (экономика региона или одного предприятия).

Для наглядного представления связи между отраслями экономической системы используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса (МОБ). Впервые эти таблицы были опубликованы в 1926 г. в СССР. Таблицы МОБ могут обеспечить органы власти и научно-исследовательские организации детализированной информацией о структурных пропорциях и межотраслевых связях в экономике страны, необходимой для прогнозирования и принятия решений в области экономической политики.

Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы. Отчетный межотраслевой баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенной в стране за отчетный год. Плановый межотраслевой баланс предназначен для планирования производства валового внутреннего продукта. В СССР такой план разрабатывался Госпланом и являлся директивным. В некоторых странах с рыночной экономикой, например, в Японии и Франции, такой план разрабатывается, но является индикативным, то есть не обязательным, а нацеливающим субъектов экономики на рациональные с точки зрения общества действия.

В советское время таблицымежотраслевого баланса разрабатывались в нашей стране на регулярной основе с 1959 по 1987 год. Первые плановые межотраслевые балансы в стоимостном и натуральном выражении были построены в 1962 г. Далее работы были распространены на республики и регионы. По данным за 1966 г. межотраслевые балансы были построены по всем союзным республикам и экономическим районам РСФСР. Последние базовые таблицы «затраты – выпуск» были разработаны за 1995 год. Дело в том, что номенклатуры отраслей и продукции в этих таблицах базировались на действующем в тот момент Общероссийском классификаторе отраслей народного хозяйства, который на сегодняшний день устарел.

14 февраля 2009 года, вышло распоряжение Правительства России №201-р, которое предписывало Росстату разработать базовые таблицы «затраты – выпуск» за 2011 год, в 2015 году представить их в Правительство Российской Федерации и осуществлять разработку базовых таблиц «затраты – выпуск» на регулярной основе 1 раз в 5 лет. Таблицы должны разрабатываться в соответствии с международными стандартами, изложенными в руководствах по составлению таблиц «затраты – выпуск» ООН и Евростата, и с учетом особенностей российской информационной базы.

Найти число и вектор фробениуса матрицы

Математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, планирования и прогнозирования хозяйственной деятельности, появилась в 1936 г. в трудах известного экономиста В.В. Леонтьева [6]. Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа «затраты – выпуск» сводилась ксистеме линейных уравнений, в которых параметрами были коэффициенты затрат на производство продукции. Леонтьев показал, что коэффициенты, выражающие отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), могут быть оценены статистически, что они достаточно устойчивы и их можно прогнозировать; обосновал существование наиболее важных коэффициентов, изменения которых необходимо отслеживать в первую очередь. Относительная простота измерений определила большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты – выпуск».

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса. Предположим, что весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль – это условное понятие, которое определяет некоторую часть народного хозяйства, более или менее цельную (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть Найти число и вектор фробениуса матрицы– количество продукции i-ой отрасли, расходуемое на производство продукции j-ой отрасли (межотраслевые поставки, материальные затраты), Найти число и вектор фробениуса матрицы– объем производства i-ой отрасли за данный промежуток времени –валовой выпуск продукции, Найти число и вектор фробениуса матрицы– объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере – объем конечного потребления, Найти число и вектор фробениуса матрицы– условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.) или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В таблице 1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении. Каждая отрасль представлена двояким образом: как элемент строки, она выступает в роли производителя продукции, а как элемент столбца – в роли потребителя продукции своей и других отраслей. Заметим, что таблица МОБ состоит из четырех частей (квадрантов), имеющих различное экономическое содержание.

Первый квадрант МОБ – это важнейшая часть межотраслевого баланса, содержащая информацию о межотраслевых связях.

Таблица 1 – Общая схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции

Производящие отраслиПотребляющие отраслиИтогоКонечный продуктВаловой продукт
jn
Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы
Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы
i Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы
I квадрантII квадрант
n Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы
Итого Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы
Условно чистая продукция Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицыIV квадрант
III квадрант
Валовой продукт Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы

Основная часть этого квадранта представлена межотраслевыми поставками Найти число и вектор фробениуса матрицы. При этом межотраслевые поставки в каждой i-ой строке (текущее производственное потребление) показывают, сколько продукции, произведенной i-ой отраслью, потребляется всеми другими отраслями экономической системы, включая i-ую. Межотраслевые поставки в каждом j-ом столбце (текущие производственные затраты) – это потребляемое j-ой отраслью количество продукции, произведенной всеми отраслями, включая j-ую. Последний столбец и последняя строка первого квадранта представляют соответственно суммарное текущее производственное потребление продукции отрасли i всеми отраслями исуммарные текущие производственные затраты всех отраслей на производство продукции отрасли j. Нетрудно убедиться в том, что суммы элементов последнего столбца и последней строки I квадранта состоят из одних и тех же слагаемых и поэтому равны между собой. Это общее значение Найти число и вектор фробениуса матрицыпредставлено в правом нижнем углу I квадранта. Оно называется промежуточным продуктом экономической системы и означает, что суммарное текущее производственное потребление равно суммарным текущим производственным затратам.

Второй квадрант состоит из двух столбцов. Первый из них – столбец конечной продукции всех отраслей Найти число и вектор фробениуса матрицы, то есть продукции, выходящей из сферы производства в область конечного личного и общественного потребления, не идущего на текущие производственные нужды. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей Найти число и вектор фробениуса матрицы

Квадранты I иII отражают баланс между производством и потреблением.

Третий квадрант представлен двумя строками: строкой условно чистой продукции Найти число и вектор фробениуса матрицыи строкой объемов валовой продукции отраслей Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Первый и третий квадранты отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли (или стоимостную структуру национального дохода).

Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому он не содержит никаких значений. По сути, этот квадрант должен отражать,как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная плата, личные доходы и пр.), государства (налоги, прибыль и пр.), предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-политические организации и т.д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т.д.

Переходим к построениюлинейной балансовой модели (ЛБМ) Леонтьева. Она представляет собой систему линейных уравнений, каждое из которых отражает равенство (баланс) между продукцией, производимой отдельной экономической отраслью, и совокупной потребностью в этой продукции во всей экономической системе.

Рассматривая схему МОБ по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что сумматекущих производственных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равна валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

Найти число и вектор фробениуса матрицы(1)

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме текущего производственного потребления ее продукциивсеми отраслями и конечной продукции данной отрасли:

Найти число и вектор фробениуса матрицы,i = 1,2, …, n (2)

Просуммируем по всем отраслям системы (1) и (2), получим

Найти число и вектор фробениуса матрицы,

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Левые части двух равенств одинаковы, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей также равны. Как было отмечено ранее, это величинапромежуточного продукта экономической системы.Балансовый характер таблицы МОБ выражается в том, что из равенства уже обозначенных сумм вытекает очевидное равенство суммарной конечной и суммарной условно чистой продукции, то есть

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Для получения ЛБМ продолжим работу с системой (2),представив ее в развернутом виде

Найти число и вектор фробениуса матрицы(2′)

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямыхвнутрипроизводственных затрат (матрица технологическихкоэффициентов)А=(aij).

Определение 1. Коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат aijпоказывают, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо (если учитывать только прямые затраты) для производства единицы валовой продукцииj-ой отрасли, то есть

Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы(3)

Из равенства (3) получаем

Найти число и вектор фробениуса матрицы. (4)

Для получения значений Найти число и вектор фробениуса матрицыв реальной экономике можно использовать два способа:

1. Статистический. Коэффициенты Найти число и вектор фробениуса матрицыопределяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигается подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно крупных отраслей коэффициенты Найти число и вектор фробениуса матрицыоказываются достаточно устойчивыми.

2. Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокупность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Заменив все межотраслевые поставки Найти число и вектор фробениуса матрицыв системе (2′) в соответствии с равенствами (4), получим линейную балансовую модель Леонтьева вида

Найти число и вектор фробениуса матрицы

или в матричной форме

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли Xi, можно определить объемы конечной про­дукции каждой отрасли Yiпо формуле

Y = (E — A) Найти число и вектор фробениуса матрицыX. (7)

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей Yi, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли Xiпо формуле

Найти число и вектор фробениуса матрицы(8)

3. Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти недостающие величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е – А) -1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е — А). Если определитель матрицы (Е — А)отличен от нуля, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через Найти число и вектор фробениуса матрицы.Тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Определение 2. Элементы матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицыназываются коэффици­ентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-ой отрасли для выпуска еди­ницыконечной продукцииj-ой отрасли.

Из экономического смысла векторов Х иYследует неотрицательность их координат. Вопрос о положительной разрешимости уравнения (6) зависит от свойств матрицы А. Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если матрица А является продуктивной.

Определение3. Неотрицательная матрицаА называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х ³ 0, что

Неравенство (9) означает, что для выпуска каждого вида продукта потребуется затрат меньше, чем стоит сам продукт. Очевидно, что условие (9) означает существование по­ложительного вектора конечной продукции Найти число и вектор фробениуса матрицыдля модели межотраслевого баланса (6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль­ных затратА была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е — А) неотрицательно обратима, т.е. существу­ет обратная матрицаВ=(Е – А) -1 , состоящая из неотрицательных элементов;

2) матричный рядЕ + А+ А 2 + А 3 + . = Найти число и вектор фробениуса матрицысходится, причем его сумма равна обратной матрице В= Найти число и вектор фробениуса матрицы;

3) наибольшее по модулю собственное значение l матрицыА, то есть решение характеристического уравнения Найти число и вектор фробениуса матрицы, строго меньше единицы. Нетрудно догадаться, что l – это число Фробениуса Найти число и вектор фробениуса матрицыматрицы А. Тогда получаем еще один простой способ проверки продуктивности (правда, это только достаточный признак продуктивности) матрицы А: если наибольшая из сумм элементов матрицы в каждом столбце (или строке) строго меньше единицы, то матрица продуктивна [7] [6], [7].

4) все главные миноры матрицы (Е – А), т.е. определите­ли подматриц, образованных элементами первыхk строк и пер­вых kстолбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Рассмотрим другое определение коэффициентов полных материальных затрат, исходя из того, что кроме прямых затрат на получение той или иной продукции существуют косвенные затраты. Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт не прямо, а через другие средства производства (см. рис. 1).

Определение 4. Коэффициентами полных материальных затрат Найти число и вектор фробениуса матрицыназывается сумма прямых Найти число и вектор фробениуса матрицыи косвенных Найти число и вектор фробениуса матрицызатрат продукции Найти число и вектор фробениуса матрицы-й отрасли для производства единицы продукции Найти число и вектор фробениуса матрицы-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Руда
Электро-энергия
Чугун
Электро-энергия
Сталь
Электро-энергия
Прокат
Косвенные затраты II порядка
Косвенные затраты I порядка
Прямые затраты

Рисунок 1. Прямые и косвенные затраты на производство проката

Коэффициенты косвенных затрат связаны с коэффициентами прямых и полных затрат формулами

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Примеры решения задач

Пример 1.Рассматривается двухотраслевая модель экономики, заданная балансовой таблицей

Производящие отраслиПотребляющие отраслиКонечный продукт
ЭнергетикаМашиностроение
Энергетика
Машиностроение

1. Валовой выпуск продукции каждой отрасли Найти число и вектор фробениуса матрицы.

2. Матрицу коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат А.

3. Построить линейную балансовую модель Леонтьева.

4. Матрицу коэффициентов полных затрат В.

5. Является ли матрицаА продуктивной? Для ответа на вопрос используйте хотя бы два критерия.

Все расчетные значения округлите до трех знаков после запятой.

1.Валовой выпуск продукции каждой отрасли определяем как сумму элементов каждой строки балансовой таблицы:

для энергетики – Найти число и вектор фробениуса матрицы

для машиностроения – Найти число и вектор фробениуса матрицы

2. Элементы матрицыАкоэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат определяем по формуле

Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицыi,j = 1, 2, …, n;

Найти число и вектор фробениуса матрицы,

Найти число и вектор фробениуса матрицы,

Найти число и вектор фробениуса матрицы,

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Таким образом, получаем матрицу коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

3.Линейная балансовая модель Леонтьева имеет вид:

Найти число и вектор фробениуса матрицы

4.Матрицу коэффициентов полных затратВнаходим по формуле

Найти число и вектор фробениуса матрицы,

где Е – единичная матрица второго порядка, т.е.

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицыНайти число и вектор фробениуса матрицы= Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Далее действуем в соответствии с порядком определения обратной матрицы:

1) определитель Найти число и вектор фробениуса матрицы

2) транспонированная матрица Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы.

3) присоединенную матрицу получаем из алгебраических дополнений к элементам транспонированной, например, Найти число и вектор фробениуса матрицы. Присоединенная матрица имеет вид

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

4) обратная матрица, т.е. матрица коэффициентов полных затрат

Найти число и вектор фробениуса матрицы= Найти число и вектор фробениуса матрицы[8].

5.МатрицаА является продуктивной, так как выполняются, например, условия продуктивности 1 и 3:

1) обратная матрица (Е – А) -1 ³0, т.к. все ее элементы неотрицательны;

3) наибольшая из сумм элементов столбцов матрицыА равна 0,8, что меньше единицы.

Пример 2.Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям) и является конечным продуктом. Специалистами управляющей компании получены экономические оценки Найти число и вектор фробениуса матрицы(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицыА(норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов Найти число и вектор фробениуса матрицывектора конечной продукции Y, которые приведены в таблице.

Производящие отраслиКоэффициенты прямых затрат Найти число и вектор фробениуса матрицыКонечный продукт
Отрасль 1Отрасль 2Отрасль 3
Отрасль 10,10,10,2
Отрасль 20,10,20,3
Отрасль 30,10,20,3

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=( Найти число и вектор фробениуса матрицы) (матрицы коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат).

2. Построить линейную балансовую модель Леонтьева и таблицу межотраслевого баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга, определив для каждой отрасли валовой выпуск, межотраслевые поставки продукции, условно чистую продукцию.

Все расчетные значения округлите до трех знаков после запятой.

1.Проверка продуктивности технологической матрицы А=( Найти число и вектор фробениуса матрицы):

Найти число и вектор фробениуса матрицы, Найти число и вектор фробениуса матрицы,

Найти число и вектор фробениуса матрицы, Найти число и вектор фробениуса матрицы[9] .

Вывод: так как все элементы матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицынеотрицательны и сумма элементов всех трех столбцов матрицыА меньше единицы, то матрица А продуктивна.

2.Построение баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга:

1) линейная балансовая модель Леонтьева имеет вид

Найти число и вектор фробениуса матрицы

2) валовой выпуск каждого предприятия находим по формуле

Найти число и вектор фробениуса матрицы.

Выполняем умножение матриц

Найти число и вектор фробениуса матрицы Найти число и вектор фробениуса матрицы= Найти число и вектор фробениуса матрицы;

3) межотраслевые поставки продукции определяем по формуле

Найти число и вектор фробениуса матрицы;

Найти число и вектор фробениуса матрицы

4) условно чистую продукцию находим из равенств

Найти число и вектор фробениуса матрицы

Найти число и вектор фробениуса матрицы;

5) строим таблицу межотраслевого баланса

Производящие отраслиПотребляющие отраслиСуммыКонечный продуктВаловой продукт
Отрасль 1Отрасль 2Отрасль 3
Отрасль 131,45241,69081,381154,524314,524
Отрасль 231,45283,381122,071236,905416,905
Отрасль 331,45283,381122,071236,905406,905
Суммы94,357208,452325,524628,3331138,33
Условно чистая продукция220,167208,45281,381
Валовой продукт314,524416,905406,9051138,33

Замечание. Баланс составлен правильно, еслиполучены следующие равенства:

1)Суммарное текущее производственное потребление равно суммарным текущим производственным затратам.Это промежуточный продукт экономической системы. В нашем случае он равен 628,333.

2) Суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.В нашем примере это общее значение равно 510 [10] .

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.Рассматривается многоотраслевая модель экономики, заданная балансовой таблицей.

1. Валовой выпуск продукции каждой отрасли Найти число и вектор фробениуса матрицы.

2. Матрицу коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат А.

3. Построить линейную балансовую модель Леонтьева.

4. Матрицу коэффициентов полных затрат В.

5. Является ли матрицаА продуктивной? Для ответа на вопрос используйте хотя бы два критерия.

Все расчетные значения округлите до трех знаков после запятой.

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Найти число и вектор фробениуса матрицы

чЕТОЕНУС Л ТБУУНПФТЕОЙА РТПУФЕКЫЕЗП ДЙОБНЙЮЕУЛПЗП БОБМПЗБ НПДЕМЙ мЕПОФШЕЧБ (0.4). лБЛ ВЩМП РПЛБЪБОП ТБОЕЕ (РТЙНЕТ 1.1), Ч НПДЕМЙ (0.4) ДПРХУФЙН ТЕЦЙН УВБМБОУЙТПЧБООПЗП ТПУФБ ЬЛПОПНЙЛЙ, ЕУМЙ НБФТЙГБ (pE — A) ОЕПФТЙГБФЕМШОП ПВТБФЙНБ ЙМЙ (УПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ 2.1) РТПДХЛФЙЧОБ. рТЙ ЛБЛЙИ ЪОБЮЕОЙСИ РБТБНЕФТБ p ≥ 0 ЬФП ЧЕТОП? дМС ПФЧЕФБ ОБ ЬФПФ ЧПРТПУ ФТЕВХЕФ ЙЪХЮЕОЙС ЪБДБЮЙ П УПВУФЧЕООПН ЪОБЮЕОЙЙ ОЕПФТЙГБФЕМШОПК НБФТЙГЩ A ≥ 0

Найти число и вектор фробениуса матрицы

РТЙ ХУМПЧЙСИ Найти число и вектор фробениуса матрицы. йЪ ЛХТУБ МЙОЕКОПК БМЗЕВТЩ ЙЪЧЕУФОП, ЮФП ДМС РТПЙЪЧПМШОПК ЛЧБДТБФОПК НБФТЙГЩ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НПЗХФ ВЩФШ, ЧППВЭЕ ЗПЧПТС, ЛПНРМЕЛУОЩНЙ ЮЙУМБНЙ, ДБЦЕ Ч УМХЮБЕ ЧЕЭЕУФЧЕООПК НБФТЙГЩ. пДОБЛП УЙФХБГЙС РТЙОГЙРЙБМШОП НЕОСЕФУС, ЕУМЙ ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ СЧМСАФУС ОЕПФТЙГБФЕМШОЩНЙ.

фЕПТЕНБ 2.3 (ФЕПТЕНБ жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ). рХУФШA ≥ 0 — НБФТЙГБ (n × n) . фПЗДБ УРТБЧЕДМЙЧЩ УМЕДХАЭЙЕ ХФЧЕТЦДЕОЙС:

  1. УТЕДЙ УПВУФЧЕООЩИ ЮЙУЕМ НБФТЙГЩ A ЕУФШ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩЕ ЧЕЭЕУФЧЕООЩЕ ЮЙУМБ Й ОБЙВПМШЫЕНХ ЙЪ ОЙИ λ(A) УППФЧЕФУФЧХЕФ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩК УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ Найти число и вектор фробениуса матрицы ;
  2. НБФТЙГБ (pE — A) ОЕПФТЙГБФЕМШОП ПВТБФЙНБ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ p > λ(A)
  3. ЕУМЙ ДМС ОЕЛПФПТПЗП ЧЕЭЕУФЧЕООПЗП ЮЙУМБ μ Й ЧЕЛФПТБ Найти число и вектор фробениуса матрицы ЧЩРПМОЕОП ОЕТБЧЕОУФЧП Найти число и вектор фробениуса матрицы, ФП μ ≥ λ(A);
  4. ЕУМЙ ω — УПВУФЧЕООПЕ ЮЙУМП НБФТЙГЩ A, ФП |ω| ≥ λ(A).

пРТЕДЕМЕОЙЕ 2.3.юЙУМП λ(A) ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМПН жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ НБФТЙГЩ A, Б УППФЧЕФУФЧХАЭЙК ДБООПНХ ЮЙУМХ УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ Найти число и вектор фробениуса матрицыОБЪЩЧБЕФУС ЧЕЛФПТПН жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ НБФТЙГЩ A .

йЪ ФЕПТЕНЩ жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ УМЕДХЕФ, ЮФП ДМС УХЭЕУФЧПЧБОЙС ДПРХУФЙНЩИ ТЕЦЙНПЧ УВБМБОУЙТПЧБООПЗП ТПУФБ Ч НПДЕМЙ (0.4) ОЕПВИПДЙНП Й ДПУФБФПЮОП ЮФПВЩ p > λ(A) , Ф.Е., ХЮЙФЩЧБС ЧЧЕДЕООЩЕ ТБОЕЕ ПВПЪОБЮЕОЙС, ФЕНР ТПУФБ ЬЛПОПНЙЛЙ s < 1/λ(A).
фБЛЙН ПВТБЪПН, ДМС ПГЕОЛЙ ДПРХУФЙНЩИ ФЕНРПЧ ТПУФБ Ч ДЙОБНЙЮЕУЛПК НПДЕМЙ мЕПОФШЕЧБ ОЕПВИПДЙНП ЧЩЮЙУМЙФШ ЮЙУМП жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ НБФТЙГЩ A , Ф.Е. ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ ОБ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС (0.8). дМС ЬФПЗП НПЦОП ЧПУРПМШЪПЧБФШУС ЙФЕТБГЙПООЩН НЕФПДПН, ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ЛПФПТПЗП НПЦОП ОБКФЙ Ч МЙФЕТБФХТЕ РП ЮЙУМЕООЩН НЕФПДБН Ч МЙОЕКОПК БМЗЕВТЕ (УН. ОБРТЙНЕТ, [3]).

йФЕТБФЙЧОХА РТПГЕДХТХ ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ (0.8) ОБЪЩЧБАФ УФЕРЕООЩН НЕФПДПН ЧЩЮЙУМЕОЙС ЮЙУМБ Й ЧЕЛФПТБ жТПВЕОЙХУБ-рЕТТПОБ. оЙЦЕ РТЙЧЕДЕО РПДТПВОЩК БМЗПТЙФН РТЙНЕОЕОЙС УФЕРЕООПЗП НЕФПДБ.

🎬 Видео

Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

7 4  Собственные векторы и собственные значения

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Матрицы и векторыСкачать

Матрицы и векторы

Что такое векторы и матрицы? Душкин объяснитСкачать

Что такое векторы и матрицы? Душкин объяснит

Лекция №2.2 НормыСкачать

Лекция №2.2 Нормы

Лекция 2, Векторные и матричные нормы, унитарные матрицы, SVDСкачать

Лекция 2, Векторные и матричные нормы, унитарные матрицы, SVD

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Матрицы: начало. Высшая математикаСкачать

Матрицы: начало. Высшая математика

11. Ранг матрицыСкачать

11. Ранг матрицы

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

8 5 Теорема Фробениуса Перрона и ее приложенияСкачать

8 5  Теорема Фробениуса Перрона и ее приложения

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Линал 2.6. Умножение матрицы на векторСкачать

Линал 2.6. Умножение матрицы на вектор

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис
Поделиться или сохранить к себе: