Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.

а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.

Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:

Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:

Из этого следует, что стороны AO и OC равны.

Пусть OB равно x, тогда

при

С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:

Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:

Найдем площадь четырехугольника ABCD:

Вычислим искомый радиус:

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Около четырехугольника можно описать окружность Теорема (свойство вписанного четырёхугольника) Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Дано: ABCD вписан в окр. (O; R) ∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. ∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Что и требовалось доказать. Теорема (признак вписанного четырёхугольника) Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Дано: ABCD — четырёхугольник, Доказать: ABCD можно вписать в окружность Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности. Доказательство будем вести методом от противного. Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её. Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E. В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°. По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E. Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то ∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC. Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности. Луч AD пересекает окружность в точке E. Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°. По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E. Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит, ∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности. Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Что и требовалось доказать. На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника. Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°. 🎦 Видео Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать 3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать Подобные треугольники и окружностьСкачать №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать Где искать подобные треугольники? Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)Скачать Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкцииСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Является ли четырехугольник прямоугольником если все его углы равны все его стороны равны Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 градусам Является ли четырехугольник параллелограммом если сумма его соседних углов равна 180 degree180 Является ли четырехугольник параллелограммом если его противоположные углы равны да или нет Чья комната походила как будто на сарай имела неправильный вид четырехугольника Что можно сказать о четырехугольнике если серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке Четырехугольники авсд и дсеф имеют общую сторону сд точки а д ф Четырехугольник является правильным если все его стороны равны и один из углов