Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьТеорема Птолемея

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникПодобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

откуда вытекает равенство:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольники

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.

а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.

Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Из этого следует, что стороны AO и OC равны.

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Пусть OB равно x, тогда

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьпри Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Найдем площадь четырехугольника ABCD:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Вычислим искомый радиус:

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Ответ: Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружностьПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

📽️ Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Подобные треугольники и окружностьСкачать

Подобные треугольники и окружность

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Где искать подобные треугольники? Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)Скачать

Где искать подобные треугольники?  Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкцииСкачать

Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкции
Поделиться или сохранить к себе: