Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | |||||||||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
(1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать
Подобные треугольники в четырехугольнике вписанном в окружность
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.
Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:
Из этого следует, что стороны AO и OC равны.
Пусть OB равно x, тогда
при
С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:
Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:
Найдем площадь четырехугольника ABCD:
Вычислим искомый радиус:
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать Около четырехугольника можно описать окружностьТеорема (свойство вписанного четырёхугольника) Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Дано: ABCD вписан в окр. (O; R) ∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. ∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Что и требовалось доказать. Теорема (признак вписанного четырёхугольника) Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Дано: ABCD — четырёхугольник, Доказать: ABCD можно вписать в окружность Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности. Доказательство будем вести методом от противного. Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её. Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E. В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°. По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E. Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то ∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC. Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности. Луч AD пересекает окружность в точке E. Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°. По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E. Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит, ∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности. Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Что и требовалось доказать. На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника. Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°. 📽️ ВидеоВсё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать 3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Подобные треугольники и окружностьСкачать Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать Где искать подобные треугольники? Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)Скачать Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать Окружность и подобные треугольники.Теоремы о секущих, касательных,хордах. Геометрические конструкцииСкачать |