Угол 120 градусов на окружности

Центральные и вписанные углы

Угол 120 градусов на окружности

О чем эта статья:

Видео:Как начертить 3 линии под 120 градусовСкачать

Как начертить 3 линии под 120 градусов

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Угол 120 градусов на окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Угол 120 градусов на окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Построение угла 120 градусов с помощью циркуля и линейки.Скачать

Построение угла 120 градусов с помощью циркуля и линейки.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол 120 градусов на окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Угол 120 градусов на окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Угол 120 градусов на окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Угол 120 градусов на окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Угол 120 градусов на окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Угол 120 градусов на окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Угол 120 градусов на окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Угол 120 градусов на окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Угол 120 градусов на окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Как начертить три линии под 120 градусов и шестиугольникСкачать

Как начертить три линии под 120 градусов и шестиугольник

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Угол 120 градусов на окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Угол 120 градусов на окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Угол 120 градусов на окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Угол 120 градусов на окружности

Найдите хорду, на которую опирается угол Угол 120 градусов на окружностивписанный в окружность радиуса Угол 120 градусов на окружности

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса Угол 120 градусов на окружности

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Угол 120 градусов на окружности

Приведём другое решение.

Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°, значит, Угол 120 градусов на окружностиПо теореме косинусов:

Видео:Как найти угол. Я нашёл 120 градусов таким способом. How to find an angle of 120 degrees.Скачать

Как найти угол. Я нашёл 120 градусов таким способом. How to find an angle of 120 degrees.

Синус, косинус и тангенс угла 120 градусов

Угол 120 градусов на окружности

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Синус, косинус и тангенс угла 2π/3 радиан

Угол 120 градусов на окружности

Напомним себе, что 2π/3 в градусах — это 120 градусов. ( 2 * 180 / 3 = 120 ). Таким образом, найти значение тригонометрической функции для угла 2π/3 и для ула 120 градусов — это одно и то же.

Как найти значения тригонометрических функций для угла 120 градусов

Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 120 градусов аналитическим способом.
На первый взгляд, нахождение значений синуса, косинуса и тангенса для угла 120 градусов — задача сложная. Однако, это не совсем так.
Прежде всего, мы должны обратить внимание, что для углов, значения которых превышают 90 градусов, у нас есть формулы приведения к углу, меньшему 90 градусов.

Поэтому, для начала, представим себе угол в 120 градусов как (90 + 30)
Тогда
sin ( 90 + α ) = cos α
sin 120 = sin( 90 + 30 ) = cos 30

cos ( 90 + α ) = — sin α
cos 120 = cos( 90 + 30 ) = -sin 30

tg ( 90 + α ) = -ctg α
tg 120 = tg( 90 + 30 ) = -ctg 30

Теперь можно посмотреть значения в таблицах синуса, косинуса и тангенса 120 градусов, который преобразован в значения тригонометрических функций синуса, косинуса и тангенса угла 30 градусов.

В уроке по ссылке можно посмотреть как вычислить значения тригонометрических функций для угла 30 градусов.

В итоге получаем:

Угол 120 градусов на окружности

Как видно из примера, значения тригонометрических функций углов синуса, косинуса и тангенса 120 градусов могут быть получены путем несложных тригонометрических преобразований с использованием тригонометрических тождеств.

См. также полную таблицу значений тригонометрических функций (таблицу синусов, косинусов и тангенсов).

Ниже приведены также значения тригонометрических функций для угла 120 градусов в виде десятичной дроби с четырьмя знаками после запятой.

📸 Видео

Построение угла в 120 градусовСкачать

Построение угла в 120 градусов

Построение углов заданной градусной мерыСкачать

Построение углов заданной градусной меры

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Построение угла с помощью транспортираСкачать

Построение угла с помощью транспортира

№1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.Скачать

№1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построить угол 30°Скачать

Построить угол 30°

Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Измерение угла с помощью транспортира

✓ Когда все углы между тремя стрелками на часах по 120°? | Ботай со мной #127 | Борис ТрушинСкачать

✓ Когда все углы между тремя стрелками на часах по 120°? | Ботай со мной #127 | Борис Трушин

Классный способ для разметки любого угла без транспортира.Скачать

Классный способ для разметки любого угла без транспортира.

Построить угол 60°Скачать

Построить угол 60°

Скрытые возможности обычного угольника! А вы их знали?Скачать

Скрытые возможности обычного угольника! А вы их знали?
Поделиться или сохранить к себе: