Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площади четырехугольников
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомФормулы для площадей четырехугольников
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

a и b – основания,
h – высота

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством,
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = ab
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
ПараллелограммПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
КвадратПлощадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = a 2
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = 4r 2
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
РомбПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
ТрапецияПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = m h
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
ДельтоидПлощадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = ab sin φ
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством
Вписанный четырёхугольникПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – смежные стороны

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством,
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Параллелограмм
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Квадрат
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомS = 4r 2

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Ромб
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Трапеция
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Дельтоид
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Вписанный четырёхугольник
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
Прямоугольник
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – смежные стороны

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a – сторона квадрата

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

ДельтоидПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь произвольного четырехугольника с доказательством
(рис.6).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Доказательство площади произвольного четырехугольника.Скачать

Доказательство площади произвольного четырехугольника.

Формула площади четырехугольника

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

(d1, d2 — диагонали четырёхугольника, φ — угол между ними).

Площадь произвольного четырехугольника с доказательствомДано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD делят его на 4 треугольника.

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Площади четырёхугольников

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Площадь произвольного четырехугольника с доказательством

Этот урок будет посвящен изучению площади четырехугольников. Для начала вспомним, что такое четырехугольник, перечислим и повторим его основные свойства. После этого запишем формулу расчета площади четырехугольника по известным значениям его диагоналей, вместе с преподавателем решим задачи по пройденной теме.

🔥 Видео

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь произвольного четырехугольникаСкачать

Площадь произвольного четырехугольника

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.Скачать

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольника

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулыСкачать

Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулы
Поделиться или сохранить к себе: