Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Теорема. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Площадь параллелограмма

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Площадь трапеции

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Площадь прямоугольника

Теорема.Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Видео:Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. 8 класс.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Видео:ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ТРАПЕЦИЯ 8 класс АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ТРАПЕЦИЯ 8 класс Атанасян

Площади четырехугольников

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииФормулы для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции,
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = ab
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
ПараллелограммПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
КвадратПлощадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = a 2
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = 4r 2
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
РомбПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
ТрапецияПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = m h
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
ДельтоидПлощадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = ab sin φ
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции,
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Параллелограмм
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Квадрат
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииS = 4r 2

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Ромб
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Трапеция
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Дельтоид
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапецииПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Вписанный четырёхугольник
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
Прямоугольник
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

ДельтоидПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. Задачи

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции
(рис.6).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь четырехугольников параллелограмм трапеции

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🎥 Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм
Поделиться или сохранить к себе: