Вектора старого и нового базиса (5 видео)

Замена базиса и системы координат

Содержание

Изменение базиса.
Изменение системы координат.
Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.
Переход к новому базису
Евклидово пространство
Подготовка и защита курсовых и дипломных работ
🔍 Видео

Видео:Матрица переходаСкачать

Изменение базиса.

До сих пор мы предполагали, что рассматривается один базис. Однако выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть задано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>) и (boldsymbol<e’_>) в старом базисе (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>). Пусть:
$$
begin
boldsymbol<e’_> = a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_>,\
boldsymbol<e’_> = a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_>,\
boldsymbol<e’_> = a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_> + a_^boldsymbol<e’_>,
endlabel
$$

Соотношения eqref и являются решением нашей задачи. Если нас заинтересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений eqref относительно неизвестных (alpha’_), (alpha’_), (alpha’_). Результат будет иметь такой же вид, как eqref, только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе.

Точно тем же способом получаются формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах на плоскости. Вот они:
$$
begin
& alpha_ = a_^alpha’_ + a_^alpha’_,\
& alpha_ = a_^alpha’_ + a_^alpha’_.
endlabel
$$

Коэффициенты в формулах eqref можно записать в таблицу:
$$
begin
a_^& a_^& a_^\
a_^& a_^& a_^\
a_^& a_^& a_^
endlabel
$$
Она называется матрицей перехода от базиса (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>) к базису (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>). В ее столбцах стоят компоненты векторов (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>) в старом базисе.

Видео:Замена базиса. ТемаСкачать

Изменение системы координат.

Рассмотрим теперь две декартовы системы координат: старую (O), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>) и новую (O’), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>). Пусть (M) — произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены ((x), (y), (z)) и ((x’), (y’), (z’)). Поставим себе задачу выразить (x), (y) и (z) через (x’), (y’) и (z’), считая известным положение новой системы относительно старой. Оно определяется координатами ((a_^, a_^, a_^)) точки (O’) в системе координат (O), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>) и компонентами векторов (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), составляющими матрицу перехода eqref.

Радиус-векторы точки (M) относительно точек (O) и (O’) связаны равенством (overrightarrow = overrightarrow + overrightarrow), которое мы можем записать в виде
$$
overrightarrow = overrightarrow + x’boldsymbol<e’_> + y’boldsymbol<e’_> + z’boldsymbol<e’_>,label
$$
так как (x’), (y’) и (z’) — компоненты (overrightarrow) в базисе (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>), (boldsymbol<e’_>). Разложим каждый член равенства eqref по базису (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), (boldsymbol<e_>), имея в виду, что компоненты векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) равны координатам точек (M) и (O’), которые мы обозначили ((x), (y), (z)) и ((a_^, a_^, a_^)), Мы получим
$$
begin
& x = a_^ + a_^x’ + a_^y’ + a_^z’,\
& y = a_^ + a_^x’ + a_^y’ + a_^z’,\
& z = a_^ + a_^x’ + a_^y’ + a_^z’.
endlabel
$$
Равенства eqref представляют собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из eqref, если там оставить только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с (z’):
$$
begin
& x = a_^x’ + a_^y’ + a_^,\
& y = a_^x’ + a_^y’ + a_^.
endlabel
$$

Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат декартовы прямоугольные. Через (varphi) обозначим угол между векторами (boldsymbol<e_>) и (boldsymbol<e’_>) отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от (boldsymbol<e_>) к (boldsymbol<e_>). Тогда (рис. 3.1)
$$
begin
& boldsymbol<e’_> = cos varphi boldsymbol<e_> + sin varphi boldsymbol<e_>,\
& boldsymbol<e’_> = cos left(varphi pm fracright) boldsymbol<e_> + sin left(varphi pm fracright) boldsymbol<e_>.
endnonumber
$$

Рис. 3.1

В разложении (boldsymbol<e’_>) ставится знак плюс, если кратчайший поворот от (boldsymbol<e’_>) к (boldsymbol<e’_>) направлен так же, как кратчайший поворот от (boldsymbol<e’_>) к (boldsymbol<e’_>), то есть если новый базис повернут относительно старого на угол (varphi). Знак минус в разложении (boldsymbol<e’_>) ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого.

Поскольку (displaystyle cos left(varphi pm fracright) = mp sin varphi), (displaystyle sin left(varphi pm fracright) = pm cos varphi), получаем
$$
begin
& x = x’ cos varphi mp y’ sin varphi + a_^,\
& y = x’ sin varphi pm y’ cos varphi + a_^.
endlabel
$$
причем при повороте системы координат берутся верхние знаки.

Видео:5 4 Координаты Преобразование координат при замене базисаСкачать

Переход к новому базису

Пусть в произвольном линейном пространстве V заданы два базиса: старый ер. е_п и новый е*р. е*_п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

a n^ +a n2 e 2 + — + a n_f> e n

Матрицей перехода от старого базиса к новому называют матрицу _z ,

столбцы которой образуются координатами разложения векторов нового базиса по векторам старого базиса.

Матрица А всегда невырожденная, так как векторы базиса линейно независимы. Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется с помощью обратной матрицы А 1 .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор х имеет координаты х_р хх_п относительно старого базиса и координаты х*_р х* х*_п относительно нового базиса, т.е.

х = х*е* + х*_е*+. + х* е* = х.е + х,е,+. + х е .

Подставив значения е*_р. е*_п из системы (3) в последнее равенство, получим после преобразований

Или в векторно-матричной форме

Пример 2. По условию предыдущего примера вектор b = (4; -4; 5), заданный в базисе е_р е₂, е₃, выразить в базисе а_р а₂, а₃.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Евклидово пространство

Линейные операции — сложение векторов и умножение вектора на действительное число — позволяют изучать линейную зависимость и независимость векторов, структуру базиса линейного пространства. Для описания таких понятий, как модуль вектора и угол между векторами, вводится новая операция — скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов х и у называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними а, и обозначается х-у:

Свойства скалярного произведения:

х-х = 0, если х — нулевой вектор.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не обращая вни-48

мания на порядок векторных множителей и сочетая числовые множители.

Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного произведения:

Угол между векторами х и у определяется равенством

cos а = , 0 2 а + cos 2 р + cos 2 у = 1.

Популярность ортонормированного базиса в приложениях объясняется тем, что в этом базисе формулы, задающие скалярное произведение, модуль вектора, угол между векторами, имеют наиболее простой вид. Скалярное произведение можно записать как сумму произведений их соответствующих декартовых координат

х у = х.-у. + х_-у, +. + х -у ;

J I J 1 2 J 2 n J n’

модуль вектора x

угол между векторами х и у определяется из условия

Запишем без доказательства условие компланарности трех векторов а = ар + a₂j + a₃k, b = bp + b,J + b₃k, c = cp + c₂j + c₃k через их координаты:

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому называется ортогональной.

Вещественная квадратная матрица называется ортогональной, если все ее столбцы нормированы и попарно ортогональны. Столбец матрицы называется нормированным, если сумма квадратов его элементов равна 1. Два столбца матрицы называются ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна 0.

Для ортогональной матрицы А справедливо равенство:

Поэтому определитель ортогональной матрицы равен ±1, так как

Ортогональная матрица называется собственной, если ее определитель равен единице, т.е. |А| = 1.

Видео:Изменение базиса | Сущность Линейной Алгебры, глава 9Скачать

Подготовка и защита курсовых и дипломных работ

Теорема 2. Если — линейно независимые векторы пространства и любой вектор линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в .

Доказательство. Векторы , по условию, линейно независимы. Покажем, что в пространстве нет более чем n линейно независимых векторов. Выберем произвольные векторов из : . По условию, каждый из них можно линейно выразить через :

Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n, то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно, линейно зависимы и векторы . Итак, пространство n – мерно и — его базис.

Переход к новому базису.

Пусть в пространстве имеется два базиса: и .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

Определитель матрицы не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.

Обратно, если , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы , получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть в старом базисе и — в новом. Подставляя в последнее равенство вместо их выражение из (5.1), получим, что

Таким образом, старые координаты вектора получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.

Линейные операции над матрицами

Умножение матрицы A на число k:

B = k × A=,

или, в краткой записи:

B = k × A Û bij = k × aij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (21)

Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:

Cm ´ n = Am ´ n ± Bm ´ n Û cij = aij ± bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (22)

Произведение матриц Am ´ n и Bn ´ k:

Cm ´ k = Am ´ n × Bn ´ k

cij = ai1b1j + ai2b2j + ¼ + ainbnj (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, k). (23)

Формулу (23) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц Am ´ n и Bn ´ k есть матрица Cm ´ k, у которой элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.

Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В, т.е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Если задан многочлен , то матричным многочленом называется выражение