С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
- Решение треугольника по трем сторонам
- Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Решение треугольника по стороне и любым двум углам
- Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров
- Общие сведения
- Элементы треугольника
- Основные формулы
- Решение примеров
- Решение задач по математике онлайн
- Калькулятор онлайн. Решение треугольников.
- 🌟 Видео
Видео:Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .
(1) |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
. |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
. |
. |
, . |
И, наконец, находим угол C:
Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
. |
. |
Далее, из формулы
. |
. | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
, |
. |
Из формулы (3) найдем cosA:
. |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
. |
Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
. |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
, . |
, . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Общие сведения
Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.
Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.
Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.
Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:
- остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
- тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
- прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.
Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.
На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Элементы треугольника
Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.
Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.
К замечательным линиям относят:
- Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
- Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
- Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
- Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.
При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).
В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.
Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать
Основные формулы
Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.
Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b 2 + c 2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.
Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b 2 + a 2 ). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).
Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:
- Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
- Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
- Медиана: М = √(2 * a 2 + 2b 2 — c 2 ) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.
Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.
Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Решение примеров
Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:
- В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
- Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
- Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 2 2 + (√3) 2 . Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.
Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№17 - Решение треугольников. Измерительные работы.)Скачать
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит сторону ( c ), углы ( alpha ) и ( beta ) по заданным пользователем сторонам ( a, b ) и углу между ними ( gamma )
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Введите стороны ( a, b ) и угол между ними ( gamma ) Решить треугольник
🌟 Видео
Решение треугольниковСкачать
Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать
Преобразование формул по физике. Как выразить неизвестное?Скачать
Вычислить определитель 3 порядка. Правило треугольникаСкачать
Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать
Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Найдите третью сторону треугольникаСкачать