Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

Площади четырехугольников

Площадь четырехугольника по периметру и радиусуФормулы для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу,
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь четырехугольника по периметру и радиусуS = ab
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
ПараллелограммПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
КвадратПлощадь четырехугольника по периметру и радиусуS = a 2
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуS = 4r 2
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
РомбПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
ТрапецияПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуS = m h
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
ДельтоидПлощадь четырехугольника по периметру и радиусуS = ab sin φ
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу
Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу,
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Параллелограмм
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Квадрат
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника по периметру и радиусуS = 4r 2

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Ромб
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Трапеция
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Дельтоид
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусуПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Вписанный четырёхугольник
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
Прямоугольник
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

ДельтоидПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Площадь треугольника через периметр и радиусСкачать

Площадь треугольника через периметр и радиус

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь четырехугольника по периметру и радиусу
(рис.6).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

Площадь четырехугольника по периметру и радиусу

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

💡 Видео

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как различать периметр и площадь?

Что важнее площадь или периметр?Скачать

Что важнее площадь или периметр?

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Площадь треугольника через его периметр и радиусСкачать

Площадь треугольника  через его периметр и радиус

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольника

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

№698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиусСкачать

№698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

КАК БЫСТРО НАЙТИ ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА ?Скачать

КАК БЫСТРО НАЙТИ ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА ?

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: