Как построить центроид треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

  • Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
  • Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
  • Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

Как построить центроид треугольника

где Как построить центроид треугольника— массы точек, Как построить центроид треугольника— их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и Как построить центроид треугольника— искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Как построить центроид треугольника

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке Как построить центроид треугольника, в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки Как построить центроид треугольника, домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

Как построить центроид треугольника

и, выражая отсюда Как построить центроид треугольника, мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

Как построить центроид треугольника

где Как построить центроид треугольника— точка-середина Как построить центроид треугольника-ой стороны многоугольника, Как построить центроид треугольника— длина Как построить центроид треугольника-ой стороны, Как построить центроид треугольника— периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Как построить центроид треугольника

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник Как построить центроид треугольникана четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Как построить центроид треугольника

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику Как построить центроид треугольникас коэффициентом Как построить центроид треугольника.

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого Как построить центроид треугольникалежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка Как построить центроид треугольниканаходится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника Как построить центроид треугольника:

Как построить центроид треугольника

Пусть теперь вектор Как построить центроид треугольника— вектор, проведённый из вершины Как построить центроид треугольникак центру масс Как построить центроид треугольникатреугольника №1, и пусть вектор Как построить центроид треугольника— вектор, проведённый из Как построить центроид треугольникак точке Как построить центроид треугольника(которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Как построить центроид треугольника

Наша цель — показать, что вектора Как построить центроид треугольникаи Как построить центроид треугольникаколлинеарны.

Обозначим через Как построить центроид треугольникаи Как построить центроид треугольникаточки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка Как построить центроид треугольника, являющаяся серединой отрезка Как построить центроид треугольника. Более того, вектор от точки Как построить центроид треугольникак точке Как построить центроид треугольникасовпадает с вектором Как построить центроид треугольника.

Искомый центр масс Как построить центроид треугольникатреугольника Как построить центроид треугольникалежит посередине отрезка, соединяющего точки Как построить центроид треугольникаи Как построить центроид треугольника(поскольку мы разбили треугольник Как построить центроид треугольникана две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Как построить центроид треугольника

Таким образом, вектор от вершины Как построить центроид треугольникак центроиду Как построить центроид треугольникаравен Как построить центроид треугольника. С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику Как построить центроид треугольникас коэффициентом Как построить центроид треугольника, то этот же вектор равен Как построить центроид треугольника. Отсюда получаем уравнение:

Как построить центроид треугольника

Как построить центроид треугольника

Таким образом, мы доказали, что вектора Как построить центроид треугольникаи Как построить центроид треугольникаколлинеарны, что и означает, что искомый центроид Как построить центроид треугольникалежит на медиане, исходящей из вершины Как построить центроид треугольника.

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении Как построить центроид треугольника, считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

Как построить центроид треугольника

где Как построить центроид треугольника— центроид Как построить центроид треугольника-го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, Как построить центроид треугольника— площадь Как построить центроид треугольника-го треугольника триангуляции, Как построить центроид треугольника— площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники Как построить центроид треугольника, где Как построить центроид треугольника.

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка Как построить центроид треугольника, а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: Как построить центроид треугольника. Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников Как построить центроид треугольника, взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

Как построить центроид треугольника

где Как построить центроид треугольника— произвольная точка, Как построить центроид треугольника— точки многоугольника, Как построить центроид треугольника— центроид треугольника Как построить центроид треугольника, Как построить центроид треугольника— знаковая площадь этого треугольника, Как построить центроид треугольника— знаковая площадь всего многоугольника (т.е. Как построить центроид треугольника).

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

  • Центр масс системы точек — вершин многогранника.
  • Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
  • Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
  • Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

Как построить центроид треугольника

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

Как построить центроид треугольника

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении Как построить центроид треугольника)

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.


источники:

🎬 Видео

Центр тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести треугольника

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Медианы и центроид в треугольнике 1Скачать

Медианы и центроид в треугольнике 1

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного

Биссектрисы треугольника.Скачать

Биссектрисы треугольника.

Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.Скачать

№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Высота, медиана, биссектриса треугольника. Как построить в треугольнике. Геометрия 7 классСкачать

Высота, медиана, биссектриса треугольника. Как построить в треугольнике. Геометрия 7 класс

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)
Поделиться или сохранить к себе: