Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Свойства высоты равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

  • BD – высота, проведенная к основанию AC;
  • BD – медиана, следовательно, AD = DC;
  • BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
  • BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Видео:Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:№133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию

Теорема (свойство высоты равнобедренного треугольника)

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и биссектрисой.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

CF -медиана и биссектриса.

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

1) AC=BC (по условию

(как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) сторона CF — общая

∠ AFC= ∠ BFC=90º (как смежные)

Сумма углов треугольника равна 180º.

Если из 180º вычесть сумму равных углов, то получим равные углы:

Доказательство высоты в равнобедренном треугольнике

Доказательство высоты в равнобедренном треугольникеТаким образом, имеем:

2) ∆ ACF=∆ BCF ( по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF.

Поэтому CF является также медианой треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

One Comment

Ну вобщем доказательство этой теоремы не совсем корректно. Потому что предполагает предварительное введение признаков равенства треугольников, включая признаки равенства прямоугольных треугольников. Потому что тут напрямую можно воспользоваться равенством тр. AFC и тр. FCB по общему катету CF и гипотенузам AC и BC… Но дело в том, что введение этих признаков требует доказательства ряда теорем и свойств и по курсу геометрии предполагается после этой теоремы. Поэтому по логике такое доказательство не совсем уместно… Мы приходим к логическому противоречию. И потому требуется другое доказательство, не требующее использования признаков равенства треугольников. Это же доказательство ещё хуже, поскольку тут потребовали ещё и равенства углов противолежащих равным сторонам. (Это отдельная теорема, которая так же излагается после). Хотя этот недостаток легко устраняется… Но доказательство получается довольно таки запутанным. Вначале надо провести биссектрису(как обычно и доказывается эта теорема) и доказать равенство этих углов. Но если выбрать такой путь, то гораздо проще провести сразу биссектрису(не высоту. ) и доказать всю теорему. А потом ввести следствия и доказать эту на основании уже доказанной скажем методом от противного. Так обычно и излагается этот материал. Но если мы хотим доказать все свойства через высоту, то надо придумать что-то другое…

📺 Видео

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.Скачать

№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольникаСкачать

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: