Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Площади четырехугольников

Площадь четырехугольника через диагонали и стороныФормулы для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны,
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь четырехугольника через диагонали и стороныS = ab
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
ПараллелограммПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
КвадратПлощадь четырехугольника через диагонали и стороныS = a 2
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныS = 4r 2
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
РомбПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
ТрапецияПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныS = m h
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
ДельтоидПлощадь четырехугольника через диагонали и стороныS = ab sin φ
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны
Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны,
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Параллелограмм
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Квадрат
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника через диагонали и стороныS = 4r 2

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Ромб
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Трапеция
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Дельтоид
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороныПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Вписанный четырёхугольник
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
Прямоугольник
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – смежные стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a – сторона квадрата

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

ДельтоидПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь четырехугольника через диагонали и стороны
(рис.6).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь четырехугольника через диагонали и стороны

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📹 Видео

Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а уголСкачать

№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Чему равна площадь четырёхугольника ABCD, если его диагонали разбивают четырёхугольникСкачать

Чему равна площадь четырёхугольника ABCD, если его диагонали разбивают четырёхугольник

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 классСкачать

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 класс

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 смСкачать

№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 см

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Задание 26 Площадь четырехугольникаСкачать

Задание 26 Площадь четырехугольника

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь
Поделиться или сохранить к себе: