Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограмм: свойства и признаки

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

О чем эта статья:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Действительно, углы Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпараллелограмма Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПоэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетто Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетАналогично Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПоэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Доказательство:

Диагональ Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетразбивает параллелограмм Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетна два треугольника Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 17). Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет-их общая сторона, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как соответственные элементы равных треугольников). Так как Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетто Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

4. Периметр параллелограмма Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— точка пересечения диагоналей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпараллелограмма Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 18). Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как противолежащие стороны параллелограмма), Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущих Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетсоответственно). Следовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как соответственные стороны равных треугольников).

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Пример:

Дано: Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпараллелограмм, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— биссектриса угла Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 19). Найдите: Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Решение:

1) Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

2) Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

3) Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по условию), тогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

4) Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— высота параллелограмма, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 22). Проведем диагональ Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетРассмотрим Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— общая сторона, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по условию). Следовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по двум сторонам и углу между ними). Тогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетсекущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПоэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпротиволежащие стороны попарно параллельны. Поэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 22). Проведем диагональ Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТогда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по трем сторонам). Поэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети следовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетСледовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— параллелограмм.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

3) Пусть в четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетдиагонали Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпересекаются в точке Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 23). Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(как вертикальные). Поэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетАналогично доказываем, что Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПринимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(рис. 16). Так как Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетто Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетт. е. Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетоткуда Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетНо Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— внутренние накрест лежащие углы для прямых Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети секущей Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПоэтому Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетСледовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетДокажите, что Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нети Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет— их общая сторона, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по условию). Тогда, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетНо тогда в четырехугольнике Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетпротиволежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Четырехугольники

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТипы четырехугольников
Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТипы параллелограмов
Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нетТипы трапеций

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырех угольнике каждые две противолежащие стороны равны

Типы четырёхугольников

Классификация треугольников изложена в разделе нашего справочника «Типы треугольников».

Целью данного раздела является классификация четырёхугольников.

Классификация четырёхугольников по типам представлена на схеме 1.

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 1, даны в следующей таблице.

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны ( основания ), а две другие стороны не параллельны ( боковые стороны ).

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

ФигураРисунокОпределение
ЧетырёхугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Выпуклый четырёхугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Невыпуклый четырёхугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
ПараллелограммПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
ТрапецияПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
ДельтоидПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Четырёхугольник
Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Невыпуклый четырёхугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

ПараллелограммПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

ТрапецияПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны ( основания ), а две другие стороны не параллельны ( боковые стороны ).

ДельтоидПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Видео:Какой четырехугольник называется параллелограммом? Геометрия 8 класс. Глава 5Скачать

Какой четырехугольник называется параллелограммом? Геометрия 8 класс. Глава 5

Типы параллелограммов

На схеме 2 представлена классификация параллелограммов .

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 2, даны в следующей таблице.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

ФигураРисунокОпределение
ПрямоугольникПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
РомбПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
КвадратПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Параллелограмм общего видаПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Прямоугольник
Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

РомбПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

КвадратПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Параллелограмм общего видаПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Типы трапеций

На схеме 3 представлена классификация трапеций .

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 3, даны в следующей таблице.

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

ФигураРисунокОпределение
Равнобедренная (равнобочная) трапецияПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Прямоугольная трапецияПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Трапеция общего видаПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет
Равнобедренная (равнобочная) трапеция
Параллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапецияПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Трапеция общего видаПараллелограммом называют четырехугольник у которого две стороны параллельны а две другие нет

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

📽️ Видео

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Второй признак параллелограмма (доказательство).Скачать

Второй признак параллелограмма (доказательство).

Геометрия. ЧетырехугольникиСкачать

Геометрия. Четырехугольники

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. 8 класс.

Параллелограмм и его свойства – 8 класс геометрияСкачать

Параллелограмм и его свойства – 8 класс геометрия

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

Геометрия 8 класс (Урок№2 - Параллелограмм.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№2 - Параллелограмм.)

Признак параллелограмма (второй), 8 классСкачать

Признак параллелограмма (второй), 8 класс

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№4 - Трапеция)

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Параллелограмм и его признаки (свойства).Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Параллелограмм и его признаки (свойства).
Поделиться или сохранить к себе: