Все формулы для четырехугольников 9 класс

Площади четырехугольников
Все формулы для четырехугольников 9 классФормулы для площадей четырехугольников
Все формулы для четырехугольников 9 классВывод формул для площадей четырехугольников
Все формулы для четырехугольников 9 классВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Все формулы для четырехугольников 9 класс

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы для четырехугольников 9 класс

a и b – основания,
h – высота

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс,
Все формулы для четырехугольников 9 класс

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникВсе формулы для четырехугольников 9 классS = ab
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
ПараллелограммВсе формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
КвадратВсе формулы для четырехугольников 9 классS = a 2
Все формулы для четырехугольников 9 классS = 4r 2
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
РомбВсе формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
ТрапецияВсе формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 классS = m h
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
ДельтоидВсе формулы для четырехугольников 9 классS = ab sin φ
Все формулы для четырехугольников 9 классВсе формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольникВсе формулы для четырехугольников 9 класс
Вписанный четырёхугольникВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс,
Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Параллелограмм
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Квадрат
Все формулы для четырехугольников 9 классS = a 2

где
a – сторона квадрата

Все формулы для четырехугольников 9 классS = 4r 2

Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Ромб
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Трапеция
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Дельтоид
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 классВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Все формулы для четырехугольников 9 класс
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Вписанный четырёхугольник
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Прямоугольник
Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a – сторона квадрата

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияВсе формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
h – высота

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Все формулы для четырехугольников 9 класс

ДельтоидВсе формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Произвольный выпуклый четырёхугольникВсе формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникВсе формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Все формулы для четырехугольников 9 класс,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Все формулы для четырехугольников 9 класс,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Все формулы для четырехугольников 9 класс
(рис.6).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Четырехугольники. Основные теоремы, формулы и свойства. Виртуальный справочник репетитра по математике

З десь ученики и репетиторы по математике и могут найти основные свойства и формулы площадей четырехугольников, изучаемых в школе по основной программе. Регулярно пользуюсь этими теоретическими сведениями на тематических и обзорных занятиях по геометрии (планиметрии), а также при подготовке к ЕГЭ по математкие. Все математические понятия и факты иллюстрированы с цветовыми выделениями главных особенностей изучаемого.

1) Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

произведение основания на высоту

Все формулы для четырехугольников 9 класс

пороизведение сторон на синус угла между ними

Все формулы для четырехугольников 9 класс

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь трапеции

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

произведение полусуммы оснований на высоту

Все формулы для четырехугольников 9 класс

произведение средней линии на высоту

Все формулы для четырехугольников 9 класс

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс
Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

2) Свойства параллелограмма

Все формулы для четырехугольников 9 классВ параллелограмме:
Все формулы для четырехугольников 9 класспротиволежащие стороны и углы равны

Все формулы для четырехугольников 9 классдиагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

Все формулы для четырехугольников 9 класс

3) Cредняя линия в трапеции
Все формулы для четырехугольников 9 класс
Теорема о средней линии: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
То есть Все формулы для четырехугольников 9 класси

Все формулы для четырехугольников 9 класс

4) Средняя линия в равнобедренной трапеции

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

То есть Все формулы для четырехугольников 9 класс

5) Теорема с сдвиге диагонали в трапеции

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Теорема: Если в трапеции через вершину В, как показано на рисунке слева , провести отрезок параллельный одной из диагоналей, то окажутся верными следующие факты:

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класстрапеция Все формулы для четырехугольников 9 класс— равнобедренная Все формулы для четырехугольников 9 классравнобедренный

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

6) Четыре замечательные точки в трапеции

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Теорема: В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пеерсечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

То есть точки M, N, K и P лежат на одной прямой

Комментарий репетитора по математкие: Знаний этих свойств по четырехугольникам вполне достаточно для решения задачи С4 на ЕГЭ, то есть ничего сверх этих фактов по четырехугольникам абитуриент знать не обязан. Однако сильным ученикам для решения сложных задач части С или олимпиадных геометрических задач, а также для качественной подготовки к экзамену по математике в МГУ необходимо расширить список. Я бы не советовал репетиторам ограничиваться только задачами на применение этих свойств, так как составителями ЕГЭ по математике закладывается проверка сразу нескольких навыков работы с теорией. В течении всего времени подготовки к ЕГЭ репетитору по математкие необходимо отбирать тренировочные задачи на одновременное использование этих свойств с другими планиметрическими фактами внутри одной задачи, ибо на экзамене может встретиться многоходовая комбинация.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике.

Александр, конечно, есть множество карманных справочников, НО! Было бы здорово сделать для репетиторов по математике скачиваемые материалы в каком-нибудь удобном формате, а также для проработки отдельно задачи к таким шпаргалкам опять же от простого к сложному.

Я выкладывал на каких-то страницах с карточками-памятками готовые теоретические материалы — файлы в формате word, по крайней мере для планиметрии точно. Просмотрите соответствующие разделы сайта. На них ведут ссылки с главной страницы. Задумываю выделить репетиторам по математике для скачивания материалов отдельный раздел сайта. Все упирается в мою занятость реальными учениками. Иначе бы уже давно реализовал все замыслы.

В этой хорошей подборке, на мой взгляд, не достает сведений по углам, например, два внутренних угла параллелограмма, связанных одной стороной в сумме дают 180 градусов.

Принципиально ли в формуле площади через диагонали брать именно меньший угол между ними? Или можно любой?

Александр, если не затруднит, очень хотелось бы получить файлик world на почту или тыкнуть ссылкой на нее. За ранее очень благодарен за титанический труд.

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Четырехугольники.

Площадь прямоугольника (со сторонами a и b):

Все формулы для четырехугольников 9 класс,

где a – сторона, Все формулы для четырехугольников 9 класс– угол, h – высота, d1 и d2 – диагонали.

Связь между стороной и диагоналями:

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Все формулы для четырехугольников 9 класс,

где a и b — стороны, Все формулы для четырехугольников 9 класс— угол, ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b, Все формулы для четырехугольников 9 класс— угол между диагоналями d1 и d2.

Связь между стороной и диагоналями:

Все формулы для четырехугольников 9 класс.

Трапеция (с основаниями a, b и высотой h):

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Выпуклый четырехугольник.

Площадь выпуклого четырехугольника:

Все формулы для четырехугольников 9 класс

где d1 и d2 — диагонали, Все формулы для четырехугольников 9 класс— угол между диагоналями.

Связь между сторонами и диагоналями: Все формулы для четырехугольников 9 класс, где a, b, c, d — стороны, m — отрезок, соединяющий середины диагоналей.

Свойства четырехугольников:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны: Все формулы для четырехугольников 9 класс.

Для вписанного четырехугольника справедливы формулы: ac + bd = d1d2;

Все формулы для четырехугольников 9 класс

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.

📺 Видео

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 класса в одной задаче | Математика | TutorOnlineСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 класса в одной задаче | Математика | TutorOnline

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

9 класс. Геометрия. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Урок #3Скачать

9 класс. Геометрия. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Урок #3

ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольниковСкачать

ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольников

9 класс. Математика. Подготовка к ОГЭ. Площадь четырехугольниковСкачать

9 класс. Математика. Подготовка к ОГЭ. Площадь четырехугольников

9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: