Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Цилиндр

Цилиндр (от лат. пер. «цилиндрус«) — каток, валик.

— прямой круговой цилиндр;

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Прямым круговым цилиндром называют часть пространства, заключенной внутри цилиндрической поверхности, лежащей между двумя плоскостями, перпендикулярными образующей.

Равносторонний цилиндр — это цилиндр, у которого диаметр основания равен образующей (то есть осевое сечение — квадрат).

Наклонный цилиндр — это цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований.

Цилиндр можно получить путём вращения прямоугольника вокруг прямой, содержащей любую его сторону.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Высотой цилиндра называется расстояние AC между плоскостями его оснований.

Радиус цилиндра — это радиус основания цилиндра CD и AB.

Образующая цилиндра называется отрезок DB, соединяющий соответственные точки двух окружностей.

Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами и называются они основаниями цилиндра.

Осью цилиндра – это прямая, проходящая через центры оснований.

Высота цилиндра и его образующая равны между собой.

1) Основания равны и параллельны.

2) Все образующие цилиндра взаимно параллельны и равны.

3) Все высоты цилиндра взаимно параллельны и равны.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. ( Вспомните : наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть. )

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180 ° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники .

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB 1 A 1 и его ось OO 1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O 1 и осями — отрезки АВ и A 1 В 1 . Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Говорят, что плоскость α касается цилиндра ( цилиндрической поверхности ) по образующей DD 1 , каждая точка образующей DD 1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD 1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки , т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна π R 2 , поэтому S осн = π R 2 . Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

S полн = S бок + 2 S осн = 2 π Rh + 2 π R 2 = 2 π R ( R + h ) .

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156) . Тогда

S бок = 2 π DC • BC . (1)

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: S бок = 2 π EF • AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17 . 4 . Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим , соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.

При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а ); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б ); правильная треугольная призма (рис. 159, в ); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г ).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 160); CDD 1 C 1 — осевое сечение; OO 1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD 1 C 1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD 1 С 1 находим CD = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это. Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это, СЕ = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра этоR = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра этоa. Откуда

S осн = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это;
S бок = 3 S ABB 1 A 1 = 3 AB • BB 1 = 3 • Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это• a = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это.

S полн = S бок + 2 S осн = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это+ 2 • Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это.

Ответ: a) Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это; Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решени е. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO 1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB 1 боковой грани ABB 1 A 1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB 1 и OO 1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB 1 A 1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF 1 E 1 . Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ ), так как OK ⟂ ( ABB 1 ) и ( ABB 1 ) || ( EFF 1 ) .

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD 1 B 1 — квадрат со стороной BD = ВВ 1 = a. Тогда АВ = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это. Значит, ОK = АЕ = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это— искомое расстояние между прямыми ОО 1 и АВ 1 .

Обозначим ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ϕ , M = AB 1 ∩ A 1 B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB 1 A 1 прямую KK 1 || OO 1 . Тогда ϕ = ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ∠ ( KK 1 ; AB 1 ) . Так как KK 1 || OO 1 , OO 1 ⟂ ( ABC ) , то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это, KМ = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это. Значит, tg ϕ = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это, откуда ϕ = arctg Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это.

Ответ: б) Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это, arctg Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра этоВо многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n- угольных призм при n → + ∞ .

Действительно, S бок. пов. призм = h • P осн. призм , где Р осн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: S бок = 2 π Rh. Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n ».

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π • R 2 : R 2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: V цил : V парал = π : 1 или V цил : ( R 2 • h ) = π : 1, откуда

V цил = π • R 2 • h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра этоπ • R 2 • h.

Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:

V= Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра этоπ • R 2 • ( a + b ),

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"

Цилиндр

Круговой цилиндр — это тело, которое состоит из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Основания кругового цилиндра — круги.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Образующие — это отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Прямой круговой цилиндр (или просто цилиндр) — это круговой цилиндр, образующие которого перпендикулярны основаниям.

! Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг его стороны.

Отрезок соединяющий соответствующие точки окружностей оснований прямого цилиндра это

Радиус цилиндра — радиус его оснований.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований,

Равносторонний цилиндр — цилиндр, у которого высота равна диаметру основания ( h = 2R ).

🌟 Видео

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Цилиндр. Площадь поверхностиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Цилиндр. Площадь поверхности

✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Задача про цилиндр  | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)

ЕГЭ БАЗА 16 номер Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14Скачать

ЕГЭ БАЗА 16 номер Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14

11 класс, 27 урок, Сечения цилиндрической поверхностиСкачать

11 класс, 27 урок, Сечения цилиндрической поверхности

Тела вращения. ЦилиндрСкачать

Тела вращения. Цилиндр

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. Математика 5 классСкачать

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. Математика 5 класс

11 класс, 14 урок, Понятие цилиндраСкачать

11 класс, 14 урок, Понятие цилиндра

ЦИЛИНДР геометрия егэ по математике профильный уровень ЯщенкоСкачать

ЦИЛИНДР геометрия егэ по математике профильный уровень Ященко

ЕГЭ Задание 14 Цилиндр Теорема о трёх перпендикулярахСкачать

ЕГЭ Задание 14 Цилиндр Теорема о трёх перпендикулярах

Математика - Тела вращения и их элементыСкачать

Математика - Тела вращения и их элементы

Разбор 422 варианта Ларина, 13, 16 заданияСкачать

Разбор 422 варианта Ларина, 13, 16 задания

Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать

Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхности

Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковойСкачать

Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой

✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. Задание 13 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. Задание 13 | Борис Трушин

ШАР и СФЕРА егэ по геометрии 12 задание 11 классСкачать

ШАР и СФЕРА егэ по геометрии 12 задание 11 класс
Поделиться или сохранить к себе: