Как узнать пересекаются ли окружности (2 видео)

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Содержание

Точки пересечения двух окружностей
Первая окружность
Вторая окружность
Пересечение окружностей
Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
Как я могу обнаружить пересечения между кругом и любым другим кругом в той же плоскости?
7 ответов
🎦 Видео

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Случай	Описание	Условие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг друга	r1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точках	Не выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точке	Частный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Как я могу обнаружить пересечения между кругом и любым другим кругом в той же плоскости?

Я ищу алгоритм для обнаружения, пересекается ли круг с любым другим кругом в той же плоскости (учитывая, что в плоскости может быть более одного круга).

один из методов, который я нашел, — это сделать тест разделительной оси. Он говорит:

два объекта не пересекаются, если вы можете найти линию, которая разделяет два объекта, т. е. линию, такую, что все объекты или точки объекта находятся по разные стороны линии.

кто-нибудь может мне помочь?

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

7 ответов

две окружности пересекаются, если, и только если расстояние между их центрами равно между суммой и разностью их радиусов. Учитывая два круга (x0, y0, R0) и (x1, y1, R1) формула выглядит следующим образом:

квадрат с обеих сторон позволяет избежать медленного SQRT и оставайтесь с ints, если ваши входные данные являются целыми числами:

поскольку вам нужен только тест Да/нет, эта проверка быстрее, чем вычисление точных точек пересечения.

выше решение должно работать даже для случая» один круг внутри другого».

предполагая, что пересечение заполненного круга (т. е.: один круг внутри другого является пересечением).

x0,y0, r0 = центр и радиус окружности 0.
x1,y1, r1 = центр и радиус окружности 1.

обратите внимание, что метод Circle.Intersects () возвращает true, даже если один круг находится внутри другого (рассматривает их как «заполненные» круги).

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, но, по крайней мере абсолютная величина разности радиусов, то окружности пересекаются сами в какой-то момент.

часть «по крайней мере, разница» применяется, если вы заботитесь только о самих кругах, а не об их внутренних областях. Если вам не все равно, круги или области, которые они заключают поделиться любой точки-то есть, если один круг полностью внутри другого считается » пересекающимся «для вас-тогда вы можете отказаться от проверки» по крайней мере, разница».

я попробовал приведенную здесь формулу, которая является предполагаемым ответом, и все проголосовали, хотя она серьезно повреждена. Я написал программу в JavaFX, чтобы позволить пользователю проверить, пересекаются ли два круга, изменяя значения centerX, centerY и Radius каждого круга, и эта формула абсолютно не работает, кроме одного способа. Я не могу понять, почему, но когда я перемещаю круг 2 рядом с кругом 1, он работает, но когда я перемещаю круг 1 на другую сторону рядом с кругом 2, он не работает. это немного странный. понял, что формула должна быть протестирована противоположным образом, так что попробовал, и это не работает

формула используется не моя формула Все кредит идет Пол Бурк (апрель 1997)