Ориентация векторов е и н (2 видео) | Курс школьной геометрии

Ориентация векторов е и н

называют абсолютным показателем преломления. С учетом последнего имеем

Следовательно, показатель преломления есть физическая величина, равная отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их скорости в среде.

Векторы E, H и v образуют правовинтовую систему.

Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и H в любой точке связаны соотношением

Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т.д.

От уравнений (3.2.1) можно перейти к уравнениям

где y и z при E и H подчеркивают лишь то, что векторы E и H направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Уравнениям (3.2.3) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (ЭМВ одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

где E₀ и H₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; ω — круговая частота; k = . волновое число; φ — начальная фаза колебаний в точках с координатой x = 0. В уравнениях (3.2.4) начальные фазы одинаковы, т.е. колебания электрического и магнитного векторов в ЭМВ происходят в одинаковых фазах.

Из всего вышеизложенного можно сделать следующие заключения:

• векторы H, E и v взаимно перпендикулярны, т.к. K и v направлены одинаково;
• электромагнитная волна является поперечной;
• электрическая и магнитная составляющие распространяются в одном направлении;
• векторы H и E колеблются в одинаковых фазах.

Видео:§11 Ориентация векторов в пространствеСкачать

Поляризация волн

Ориентация векторов Е и Н относительно осей X и Y в плоской волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависит от источника, создающего волну. Пусть, например, волна создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z параллельно оси Xвсреде без потерь. Тогда в области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых сферическую волну можно приближенно считать плоской, вектор Е будет иметь одну составляющую Ех, а вектор Н – только составляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами (2.15). При выводе этих формул предполагалось, что начальная фаза вектора Е (фаза в момент времени t = 0 в точке z = 0 или что, то же самое, фаза вектора 0) равна нулю. Если начальная фаза равна φ, то формулы (2.15) принимают вид:

(2.33)

Так как векторы Е и Н взаимосвязаны (Н = (1/Zc) [z0, E]), ограничимся рассмотрением одного вектора Е. Из формулы (2.33) следует, что половину периода направление вектора Е совпадает с направлением оси X,а другую половину периода – противоположно. Таким образом, в фиксированной точке пространства (z = const) конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в интервале [-Е0, Е0]. Волны, обладающие таким свойством, принято называть линейно поляризованными. Плоскость, проходящую через ось Z и вектор Е, называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляризации является плоскость XOZ.

Если источником волны является элементарный магнитный вибратор, параллельный оси X,или элементарный электрический вибратор, параллельный оси Y, то вектор Е имеет только составляющую Еу, авектор Н – только составляющую Нх. Волна в этом случае также будет линейно поляризованной.

Предположим теперь, что волна создается двумя вибраторами, например взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, расположенными на оси Z, как показано на рис. 2.6.

Рис.2.6. Расположение двух взаимно перпендикулярных элементарных электрических вибраторов

В этом случае вектор Е имеет две составляющие Ех и Еу, которые изменяются либо синфазно, либо с некоторым фазовым сдвигом в зависимости от соотношения между фазами токов вибраторов. Вектор Н при этом имеет также две вставляющие Нх и Ну, связанные с Ех и Еу соотношениями (2.2). Аналогичный результат получается, если в качестве источника волны рассматривать любую другую более сложную систему, излучающую монохроматические электромагнитные волны. Таким образом, в общем случае выражение для вектора Е плоской волны в среде без потерь записывается в виде:

(2.34)

где Ехт и Еут – амплитуды составляющих Ех и Еу соответственно, φ1и φ2 – фазы этих составляющих в точке z = 0 при t = 0.

Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно в (2.34) заменить k на β и положить и , где и – значения амплитуд составляющих Ех и Еу, соответственно, в плоскости z = 0. При этом получим:

(2.35)

Формулы (2.34) и (2.35) однотипны, и для дальнейшего достаточно исследовать любую из них, например (2.35). Волну (2.35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных волн с взаимно перпендикулярной ориентацией векторов Е, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z). Характер изменения вектора Е волны (2.35) с течением времени в фиксированной точке пространства зависит от соотношения между начальными фазами φ1и φ2 и от амплитуд и .

Угол θ (рис. 2.7) между осью Х и вектором Е в фиксированной точке пространства (2) определяется соотношением:

(2.36)

Рис.2.7. Угол θ между осью Х и вектором Е

Как следует из формулы (2.36), угол θ зависит от соотношения между φ1и φ2, а также от отношения /.Вобщем случае угол θ может изменяться со временем. Предположим вначале, что начальные фазы φ1и φ2 совпадают. Полагая в формуле (2.36) φ1 = φ2 = φ, получаем:

(2.37)

Следовательно, вектор Е, определяемый равенством (2.35) в любой момент времени, лежит в плоскости, проходящей через ось Z и составляющей угол сплоскостью XOZ (рис. 2.8).

Рис.2.8. Расположение вектора Е

Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность между φ1и φ2 равна целому числу π:

(2.38)

В фиксированной точке пространства конец вектора Е с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, составляющей с осью Xугол . Таким образом, волна (2.35) при выполнении условия (2.38) является линейно поляризованной. Очевидно, что поворотом осей координат Xи Y относительно оси Z в этом случае можно добиться того, чтобы вектор Е в новой системе координат имел только одну составляющую Ex или Еу.

Рассмотрим второй частный случай. Пусть амплитуды составляющих Ex и Еу равны, а начальные фазы отличаются на π/2 . Тогда Ex = E0exp(-αz)cos(ωt – βz + φ1), . Подставляя эти выражения в (2.36), получаем равенство:

откуда следует, что:

(2.39)

где т – целое число.

Равенство (2.39) означает, что угол θ в фиксированной точке пространства (z) увеличивается пропорционально t. Величина вектора Е при этом остается неизменной:

Таким образом, в фиксированной точке пространства вектор Е, оставаясь неизменным по величине, вращается с угловой частотой со вокруг направления z0. Конец вектора Е при этом описывает окружность (рис. 2.9, а). Волны такого типа называютволнами с круговой поляризацией.

Рис.2.9. Вращение вектора Е волны с круговой поляризацией в проекции на плоскость а) XOY, б) XOZ

Нетрудно убедиться в том, что при волна будет иметь круговую поляризацию, если:

(2.40)

В зависимости от направления вращения вектора Е различают волны с правой и с левой круговой поляризацией. В случае правой круговой поляризации вектор Е вращается по часовой стрелке (если смотреть вдоль направления распространения волны), а в случае левой круговой поляризации – против часовой стрелки.

В рассмотренном примере волна имеет правую круговую поляризацию. Очевидно, что такая же поляризация будет и в том случае, если:

(2.41)

При выполнении условий:

(2.42)

волна имеет левую круговую поляризацию.

Таким образом, вектор Е вращается в направлении от опережающей по фазе составляющей вектора Е к отстающей. На рис. 2.9, б показана ориентация вектора Е, соответствующего различным значениям координаты z в фиксированный момент времени, для случая плоской волны с круговой поляризацией, распространяющейся в среде без потерь. Линия, соединяющая концы векторов, является винтовой линией с шагом, равным длине волны. Ее проекция на плоскость ХОY образует окружность (рис. 2.9, а). С течением времени изображенная на рис.2.9, б винтовая линия, определяющая ориентацию вектора Е в зависимости от координаты z, вращается вокруг оси Z с угловой частотой ω. В случае среды без потерь этот процесс можно трактовать и как перемещение винтовой линии вдоль оси Z со скоростью где – скорость света в вакууме.

В случае среды с потерями линия, соединяющая концы векторов Е, вычисленных в один и тот же момент времени в разных точках оси Z, представляет собой спираль, радиус которой (расстояние от оси Z до спирали) изменяется вдоль Z по закону exp (-αz).

Отметим, что винтовая линия, соответствующая волне с правой круговой поляризацией, имеет левую намотку, и, наоборот, в случае волны с левой круговой поляризацией винтовая линия имеет правую намотку.

Из проведенного анализа следует, что любая волна круговой поляризации является суперпозицией двух линейно поляризованных волн. Покажем, что всякую линейно поляризованную волну можно представить в виде суммы двух волн с круговой поляризацией. Пусть вектор Е линейно поляризованной волны колеблется в плоскости XOZ.

Комплексная амплитуда вектора Е в этом случае имеет вид:

(2.43)

где а постоянные α, β и φ определены выше. Переход к комплексному вектору m сделан лишь для сокращения записи и не имеет принципиального значения. Прибавим и вычтем в правой части формулы (2.43) вектор . В результате получим:

(2.44)

Первое слагаемое в правой части равенства (2.44) описывает волну с левой круговой поляризацией, а второе – волну с правой круговой поляризацией.

В общем случае вектор Е определяется формулой (2.35). В фиксированной точке пространства он изменяется и по величине, и по направлению. Найдем форму линии, описываемой при этом концом вектора Е. Введя обозначение ,получим из (2.35) следующие соотношения:

(2.45)

где Решая систему уравнений (2.45), имеем:

Возводя обе части этих уравнений в квадрат и почленно складывая получающиеся выражения, приходим к уравнению:

описывающему эллипс, большая ось которого повернута относительно оси X на угол η(рис. 2.10), определяемый соотношением:

Рис. 2.10. Проекция винтовой линии, соединяющей концы векторов Е, на плоскость ХОY

В случае среды спотерями получается аналогичный результат. Отличие состоит лишь в том, что величины полуосей эллипса зависят от координаты z (уменьшаются с увеличением z).

Таким образом, в общем случае, т.е. при произвольных φ1, φ2, и в фиксированной точке пространства (z) конец вектора Е описывает эллипс. Волны такого типа принято называть эллиптически поляризованными. Ориентация векторов Е, соответствующих различным значениям координаты z в фиксированный момент времени в среде без потерь, аналогична изображенной на рис. 2.9, б. Отличие состоит в том, что в данном случае проекция винтовой линии, соединяющей концы векторов Е, на плоскость ХОYобразует эллипс (рис. 2.10).

Очевидно, что линейно поляризованная волна и волна с круговой поляризацией являются частными случаями эллиптически поляризованной волны. Отметим, что понятие линейной, круговой и эллиптической поляризации применимо не только для плоских, но и для других типов волн.

Например, сферические волны, создаваемые в дальней зоне элементарным электрическим вибратором или элементарным магнитным вибратором, являются линейно поляризованными. Действительно, в случае ЭЭВ вектор Е колеблется в меридианальной плоскости, и в любой фиксированной точке пространства, принадлежащей дальней зоне, его направление либо совпадает с направлением вектора θ0, либо противоположно ему. Аналогично в случае элементарного магнитного вибратора вектор Е лежит в азимутальной плоскости, и в любой фиксированной точке направлен либо так же, как вектор φ0, либо противоположно ему.

Волны, созданные более сложными излучателями, могут иметь и круговую, и эллиптическую поляризацию. Например, сферическая волна, создаваемая в дальней зоне двумя взаимно перпендикулярными элементарными электрическими вибраторами, токи которых равны по величине и сдвинуты по фазе на π/2, в направлении, перпендикулярном обоим вибраторам, будет иметь круговую поляризацию.

При определении поляризации волны до сих пор рассматривался только вектор Е. Очевидно, такой же анализ для вектора Н привел бы к аналогичным результатам. В общем случае (при произвольных начальных фазах и амплитудах) конец вектора Н вфиксированной точке пространства с течением времени также описывает эллипс, подобный эллипсу вектора Е и повернутый относительно него на угол π/2 (рис. 2.10). В рассмотренных выше частных случаях линейной и круговой поляризацией этот эллипс вырождается соответственно в отрезок прямой линии и окружность.

Отметим, что в тех случаях, когда анализируемая плоская волна является неоднородной (т.е. когда поверхности равных амплитуд не совпадают с поверхностями равных фаз), поляризация волны может быть различной в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (оси Z). Это объясняется тем, что амплитуда неоднородной плоской волны зависит от координат х и у и при изменении последних может изменяться соотношение между составляющими Ех и Еу. Кроме того, поляризация неоднородной волны, определенная по вектору Е, может не совпадать с поляризацией волны по вектору Н.

Выясним условие взаимной перпендикулярности векторов Е и Н плоской волны. В общем случае имеют место соотношения:

Перемножая скалярно выписанные выражения для векторов Е и Н, после несложных преобразований получаем:

(2.46)

Для ортогональности векторов необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Правая часть равенства (2.46) обращается в нуль только в следующих частных случаях: при φ1 — φ 2 = nπ, где п = 0, ±1, ±2, и при δ = 0.

Первый случай соответствует линейно поляризованной волне, а второй – среде без потерь.

Таким образом, в общем случае векторы Е и Н в среде с потерями, не перпендикулярны друг другу. Это вызвано тем, что в среде с потерями векторы Е и Н изменяются несинфазно.

Видео:Правые и левые тройки векторовСкачать

Элемент Гюйгенса (ЭГ). Система координат, связанная с ЭГ. Электрическое и магнитное поле ЭГ в плоскости YOZ. ДН ЭГ в плоскости YOZ

Каждая точка фронта волны, созданной каким-либо первичным источником, является вторичным источником сферической волны. Это предположение называют принципом Гюйгенса.

Элемент Гюйгенса –– гипотетический излучатель, соответствующий бесконечно малому элементу волнового фронта плоской электромагнитной волны линейной поляризации. Элемент Гюйгенса вводится в теорию антенн в связи с применением принципа эквивалентных поверхностных токов (электрического и магнитного) –– аналога известного из оптики принципа Гюйгенса.

Практически элемент Гюйгенса можно представить как элемент фронта распространяющейся волны. Магнитное поле, действующее на этом элементе,

можно заменить эквивалентным электрическим током, а электрическое поле-эквивалентным магнитным током. Таким образом, элемент Гюйгенса можно рассматривать как элементарный излучатель, обтекаемый электрическими и магнитными токами. Так как векторы Е и Н свободно распространяющейся волны взаимно перпендикулярны, то эквивалентные им электрические и магнитные токи также будут взаимно перпендикулярны. Расположим прямоугольный элемент Гюйгенса (плоскую прямоугольную площадку ∆S = l₁l ₂) в плоскости ХОΥ так, чтобы начало координат совпадало с его центром. Ориентация касательных составляющих векторов Е и Н на площадке ∆S, соответствующая некоторому моменту времени t₀, показана на рис. 5.26, а ориентация электрических и магнитных токов, эквивалентных этим составляющим, в тот же момент времени t₀ — на рис. 5.27. Элемент Гюйгенса обладает однонаправленными свойствами: максимум излучения перпендикулярен поверхности элемента и направлен в сторону движения волны; в обратном направлении — излучения нет.

Полагая , получаем, что комплексные амплитуды эквивалентных электрического и магнитного токов, текущих по ∆S, равны Поле, создаваемое элементом Гюйгенса, равно сумме полей, создаваемых расположенными перпендикулярно друг другу элементарным электрическим вибратором длиной l₂ с током i 3 _т и элементарным магн. вибратором длиной l₁ с током В произвольном направлении, характеризуемом координатами θи φ, комплексная амплитуда напряженности Электрического поля, создаваемого элементом Гюйгенса, имеет две составляющие:

При выполнении условия диаграмма направленности элемента Гюйгенса одинакова во всех плоскостях, проходящих через ось Z, и имеет вид кардиоиды Пространственная диаграмма направленности элемента Гюйгенса представляет собой поверхность, образующуюся при вращении кардиоиды вокруг ее оси симметрии (оси Z). Вектор напряженности магнитного поля, создаваемого элементом Гюйгенса, в дальней зоне при любых значениях углов θ и φ можно найти по формуле где г₀-орт радиуса-вектора, проведенного из середины элемента Гюйгенса в точку наблюдения. Переходя к составляющим Н_θт и H_φm, получаем