Если в многоугольник вписана окружность то его площадь равна

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается каждой из его сторон. Ясно, что если в многоугольник можно вписать окружность, то он является выпуклым. Имеют место следующие утверждения:

1. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна p Ч r, где p – полупериметр многоугольника, а r – радиус вписанной окружности.

2. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он выпуклый и биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной и той же точке (в центре вписанной окружности).

3. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он выпуклый и суммы его противоположных сторон равны.

Каждое из этих утверждений желательно уметь доказывать. Попробуйте это сделать самостоятельно. Возможно Вам помогут следующие простейшие утверждения: а) точка, расположенная на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон; б) луч, выходящий из вершины угла и проходящий через центр вписанной окружности, – биссектриса этого угла; в) два отрезка касательных из внешней точки к окружности равны.

В четырехугольник с перпендикулярными диагоналями можно вписать окружность. Показать, что хотя бы одна из диагоналей делит его на два равных треугольника. Решение

Пусть a, b, c и d – длины последовательных сторон четырехугольника. Так как диагонали перпендикулярны и в него можно вписать окружность, то имеем систему или

Если a — b = d — c = 0 , то имеем в четырехугольнике две пары равных смежных сторон.

Если же a — b № 0 , то из системы

находим a = d и b = c , т.е. опять находим в четырехугольнике две пары равных смежных сторон. Диагональ четырехугольника, проходящая через вершины, из которых выходят равные стороны, разделит этот четырехугольник на два равных по третьему признаку треугольника.

Пример 6.9.2. (КубГУ, географ., 1987 г.)

Около круга радиуса r описана равнобедренная трапеция, основания которой относятся как m : n . Вычислить площадь трапеции. Решение

Для определенности положим AD = mt и BC = nt (учли, что основания относятся как m : n ). Так как в трапецию можно вписать окружность, то AB + CD = AD + BC и ввиду AB = CD , находим . Далее, замечая, что AH = MD ,

получаем , т.е. .

Откуда по теореме Пифагора для треугольника ABH находим высоту трапеции .

С другой стороны, BH = KL = 2 Ч OL = 2r , а значит, и .

И наконец, в силу ,

Заметим, что по умолчанию в ходе решения мы положили m > n , т.к. по рисунку AD > BC . Но, как видно из полученного ответа, и при m получим такую же формулу для площади трапеции.

@ Полезно знать свойство описанной трапеции.
Если отрезки боковой стороны, на которые ее разбивает точка касания, равны x и y, то , где r – радиус окружности, вписанной в трапецию, в частности, если трапеция равнобедренная с основаниями a и b, то (докажите самостоятельно, используя свойство описанного многоугольника и метрические соотношения в прямоугольном треугольнике).

Тогда пример 6.9.2. можно решить проще.

AD = mt , BC = nt , тогда, используя свойство AD + BC = AB + CD , получим p = (m + n)t , , откуда .
Зная, что S = pr , получим .

@ Многоугольники, в которые можно вписать окружность, коротко называют описанными многоугольниками. Аналогично вписанный многоугольник – это такой многоугольник, около которого можно описать окружность, т.е. для которого найдется окружность, проходящая через все его вершины. Так как всякий вписанный угол меньше 360 °, то все внутренние углы вписанного многоугольника меньше 360 ° и он поэтому обязательно является выпуклым многоугольником. Имеется ряд полезных утверждений, дающих условия, при которых через данные точки плоскости (например, являющихся вершинами многоугольника) можно провести окружность:

4. Через n точек плоскости можно провести окружность тогда и только тогда, когда в плоскости найдется точка О, равноудаленная от всех этих точек (тогда О – центр окружности).

5. Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной и той же точке О (тогда О – центр описанной окружности).

6. Через четыре точки A, B, C и D данной плоскости можно провести окружность тогда и только тогда, когда они не лежат на одной прямой и sin Р ABC = sin Р ADC; в частности, около четырехугольника можно описать окружность в том и только в том случае, когда сумма каких-то двух его противоположных углов (а значит, и двух других) равна 180 ° .

7. Через четыре точки A, B, C и D, для которых лучи AB и CD пересекаются в точке Е, можно провести окружность тогда и только тогда, когда AE Ч BE = CE Ч DE .

Доказательство утверждений 4 и 5 непосредственно получается из определения окружности и того, что серединный перпендикуляр к отрезку – геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. Для утверждений 6 и 7 в одну сторону, когда A, B, C и D лежат на окружности, выполнимость условий, сформулированных в этих утверждениях, доказывается достаточно просто (для утверждения 6 углы ABC и ADC либо равны либо в сумме дают 180 ° , а для утверждения 7 рассуждения подобны некоторым рассуждениям в примере 6.7.6). Попробуйте доказать самостоятельно в другую сторону каждое из утверждений 6 и 7.

В четырехугольнике измерили стороны и одну диагональ, а затем их длины записали по убыванию и получили 7 см, см, 4 см, 2 см, 2 см. Около всякого ли такого четырехугольника можно описать окружность? Решение

Согласно неравенству треугольника (сумма меньших сторон больше большей стороны) из отрезков с данными в условии длинами мы можем собрать только три различных треугольника со сторонами 2; 4 ; или 2 ; ; 7 или 4; ; 7 .

Но только из первых двух таких треугольников мы можем собрать четырехугольник (с диагональю ), стороны которого равны 7 см, 4 см, 2 см и 2 см (см. рисунок). Этот четырехугольник будет выпуклым и , , а значит, Р A + Р C = 180 ° и около четырехугольника согласно утверждению 6 можно описать окружность.

Ответ: да.

Лучи AB и CD пересекаются в точке Е , где В и D лежат на отрезках АЕ и СЕ соответственно, а лучи AD и CB пересекаются в точке F . Найти отношение площадей треугольников ABF и CDF , если AB = 4 , BE = 2 , CD = 1 и DE = 3 . Решение

По рисунку замечаем, что AE = 4 + 2 = 6 и Ce = 1 + 3 = 4 , т.е. AE Ч BE = 6 Ч 2 =12 и CE Ч DE = 4 Ч 3 = 12 . Поэтому, согласно утверждению 7 приходим к выводу, что через точки A, B, C и D можно провести окружность.

Откуда получаем Р BAF = Р DCF (опираются на одну дугу) и Р AFB = Р CFD (вертикальные), т.е. треугольники CDF и ABF подобны с коэффициентом подобия , а значит, площадь треугольника ABF в раз больше площади треугольника CDF.

Ответ: 16.

Пример 6.9.5. (КубГУ, ФПМ, 1975 г.)

Сторона правильного треугольника равна a . Определить площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса , центр которого совпадает с центром треугольника. Решение

Так как радиус вписанной окружности равен , то . Радиус описанной окружности равен , следовательно, . Отсюда заключаем, что , т.е. окружность пересекает стороны треугольника.

Пусть сторону AB она пересекает в точках M и N . Из прямоугольного треугольника OMK находим .

Треугольник OMN равнобедренный и высота OK является медианой. Тогда , .

То есть окружность делит каждую сторону треугольника на три равные части. Тогда APOM – ромб со стороной . Искомая площадь треугольника вне круга состоит из трех равных частей. Площадь одной части есть разность площади ромба и площади сектора с центральным углом в 60 ° .
S ромба , S сектора .
Тогда S искомое = 3 ( S ромба — S сектора ) =
.

Две окружности радиуса 3 и 4 пересекаются в точках А и В . Расстояние между центрами окружностей равно 5. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружность в точках С и D , отличных от точки В , причем В лежит между точками С и D и CD равно 8. Найти площадь треугольника ACD . Решение

прямоугольный, т.к. его стороны отвечают соотношению . Угол ACB вписанный, опирающийся на дугу AB, он равен половине центрального угла , т.е. . Аналогично .

Тогда подобен D CAD и так как прямоугольный, то и D CAD прямоугольный.
Коэффициент подобия .
Тогда ; .

Ответ: 15,36.
Пример 6.9.7.

Продолжение общей хорды AB двух пересекающихся окружностей радиусов R и r пересекает их общую касательную в точке С ( А лежит между В и С , M и N – точки касания). Найти: 1) радиус окружности, описанной около треугольника AMN ; 2) отношение расстояний от точки С до прямых AM и AN . Решение

Пусть Р AMC = a и Р ANC = b , тогда и . Из прямоугольных треугольников и находим AM = 2R cos (90 ° — a ) = 2R sin a , AN = 2r cos (90 ° — b ) = 2r sin b . Пусть r – радиус искомой окружности, KN и MP – диаметры. Так как углы AMN и AKM – вписанные в эту окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу AN , то Р AKN = a и из прямоугольного треугольника ANK имеем

, т.е. . Аналогичные рассуждения приводят к тому, что Р APM = b и . Из этих соотношений получаем, что , откуда или .

С – внешняя точка для окружности радиуса R , тогда , но С – внешняя точка и для окружности радиуса r , тогда . Из этих соотношений заключаем, что С – середина отрезка MN . Треугольники ACM и ACN равновелики, т.к. имеют одинаковые основания и общую высоту. Пусть расстояние от С до AM равно , от С до CN – , тогда , , .

Формула площади правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Правильный многоугольник так же называют правильным n-угольником , где n — это количество сторон в многоугольнике (пятиугольник, шестиугольник и т.д.).

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Такая окружность называется вписанной окружностью .

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

• Треугольник
• Выпуклый, правильный многоугольник
• Квадрат
• Равнобедренная трапеция
• Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.

Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон треугольника.

От центра вписанной окружности можно провести
перпендикуляры к любой точке касания.

Вписанная в треугольник окружность делит стороны
треугольника на 3 пары равных отрезков.

Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
   сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
3. Центр вписанной окружности и середины двух
   диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
   окружность и любая из сторон четырехугольника.
6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

Примеры вписанной окружности

• Треугольник
  
• Четырехугольник
  
• Многоугольник
  

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
   в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
   углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
   половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
    три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

💥 Видео