Движение треугольника осевая симметрия

Осевая симметрия является движением

Осевая симметрия является движением.

Движение треугольника осевая симметрияПусть A и B — две произвольные точки фигуры F.

При симметрии относительно прямой g фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1. При этом AO=A1O, BO1=B1O1и прямая g перпендикулярна отрезкам AA1 и BB1.

Проведём отрезки AO1 и A1O1.

Прямоугольные треугольники AOO1 и A1OO1 равны по двум катетам, следовательно, AO1=A1O1 и ∠OAO1=∠OA1O1.

Прямые AA1 и BB1 параллельны по признаку параллельности прямых (как прямые, перпендикулярные одной и той же прямой g).

∠BO1A=∠OAO1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей AO1)

∠B1O1A1=∠OA1O1 (как внутренние накрест лежащие при AA1 ∥ BB1 и секущей A1O1)

В треугольниках BO1A и B1O1A1:

Следовательно, эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Что и требовалось доказать.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Осевая симметрия. 6 класс.

One Comment

Добротное классическое обоснование осевой симметрии как движения, ключевым свойством которого является сохранение расстояния между двумя точками плоскости при их движении.

Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Осевая симметрия, как начертить треугольники симметрично

Осевая и центральная симметрия

Движение треугольника осевая симметрия

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Движение треугольника осевая симметрия

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

  • Ось симметрии угла — биссектриса.
  • Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
  • Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
  • У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
  • У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
  • Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Движение треугольника осевая симметрия

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

Движение треугольника осевая симметрия

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Движение треугольника осевая симметрия

  1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
  2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
  3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
  4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.
  5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Движение треугольника осевая симметрия

  1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
  2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
  3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
  4. Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Движение треугольника осевая симметрия

  1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
  2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
  3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
  4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A1 и B1.
  5. Соединяем точки A1 и B1.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия. 6 класс.

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Движение треугольника осевая симметрия

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Движение треугольника осевая симметрия

  1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
  2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
  3. Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.
  4. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Движение треугольника осевая симметрия

  1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
  2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
  3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
  4. Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB.
  5. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.

Видео:11 класс, 10 урок, Осевая симметрияСкачать

11 класс, 10 урок, Осевая симметрия

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Движение треугольника осевая симметрия

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.

Движение треугольника осевая симметрия

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Осевая и центральная симметрия, 6 класс

Урок «Движения. Осевая симметрия»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство с движением.

На прошлом занятии вы познакомились с одним из видов движения — центральной симметрией.

Вспомним, что центральная симметрия — это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К1, относительно центра симметрии точки В.

Движение треугольника осевая симметрия

Отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К1 относительно оси а называется осевой симметрией с осью а.

1. Введём декартову (прямоугольную) систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии.

2.Найдем связь между точками М (x;y;z) и M1 (x1;y1;z1), которые симметричны относительно оси Оz .Если точка М не принадлежит оси Оz, то данная ось:

а) проходит через середину отрезка МM1;

б) перпендикулярна отрезку ММ1.

Из первого условия по формулам для координат середины отрезка имеем:

Движение треугольника осевая симметрия

Из второго условия можно сделать вывод, о том, что z=z1.

Данные формулы будут верны и в случае, если точка М принадлежит оси Оz.

3. Рассмотрим любые две точки: А — с координатами (x1;y1;z1) и В — с координатами (x2;y2;z2) и докажем, что расстояние между точками А1 и В1, которые им симметричны, равно АВ.

Точки А1 и В1 имеют координаты

А1 (-x1;-y1;z1) и В1 (-x2;-y2;z2).

По формуле расстояний между двумя точками, найдём:

Очевидно, что длина отрезка АВ равна длине отрезка A1B1, то есть расстояние между точками сохранено.

Таким образом, мы доказали, что осевая симметрия является движением.

Рассмотрим решение задач, применяя полученные знания.

Доказать, что при осевой симметрии прямая, образующая с осью симметрии угол , отображается на прямую, так же образующую с осью симметрии угол

1. Так как ось симметрии а и прямая l не параллельны, то а пересекается с l в некоторой точке А.

Выберем любую точку N на прямой l.

Движение треугольника осевая симметрия

Построим отрезок NE перпендикулярно к оси симметрии а.

Затем продолжим отрезок NE за точку Е на расстояние EF=NE.

Соединим точки F и А.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEF и AEN.

EF=NE (по построению), АЕ — общий катет.

Таким образом, прямоугольные треугольники AEF и AEN равны.

Из равенства данных треугольников следует равенство углов EAN и EAF, а это и есть угол .

Итак, мы доказали, что при осевой симметрии прямая, образующая с осью симметрии угол , отображается на прямую, также образующую с осью симметрии угол

Известно, ABCDA1B1C1D1 — куб, длина ребра АВ равна а. Точка D отображается в точку D2 при осевой симметрии относительно прямой В1 D1. Найти ВD2.

Движение треугольника осевая симметрия

1.Отрезок DD1 перпендикулярен плоскости A1C1D1 верхнего основания куба.

По определению осевой симметрии отрезки DD1 и D1D2 равны. Значит DD2=2а

2.Из прямоугольного треугольника ABD найдём гипотенузу BD по теореме Пифагора:

3.Так как треугольник BDD2 так же прямоугольный, то по теореме Пифагора найдем длину искомого отрезка ВD2:

Таким образом, длина отрезка ВD2 равна а√6.

🔍 Видео

Осевая и центральная симметрия.Скачать

Осевая и центральная симметрия.

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Ось симметрииСкачать

Ось симметрии

Центральная и осевая симметрии. Геометрия 7 класс.Скачать

Центральная и осевая симметрии.  Геометрия 7 класс.

48. Осевая и центральная симметрииСкачать

48. Осевая и центральная симметрии

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.

Центральная симметрияСкачать

Центральная симметрия

СИММЕТРИЯ | осевая симметрия | центральная симметрияСкачать

СИММЕТРИЯ | осевая симметрия | центральная симметрия

Осевая симметрия, 6 классСкачать

Осевая симметрия, 6 класс

Геометрия 7 класс. Урок 6 Осевая симметрия и равнобедренный треугольникСкачать

Геометрия  7 класс. Урок 6  Осевая симметрия и равнобедренный треугольник

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пример 2Скачать

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пример 2

11 класс, 9 урок, Центральная симметрияСкачать

11 класс, 9 урок, Центральная симметрия

Геометрия 8 Осевая и центральная симметрияСкачать

Геометрия 8 Осевая и центральная симметрия
Поделиться или сохранить к себе: