Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Задание 6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 8 , ВС = 4 и CD = 25. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Так как в четырехугольник вписана окружность, то он обладает свойством, что сумма его противоположных сторон равна, т.е.

Найдем сторону AD из этого равенства, получим

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. ) Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Видео:Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

Решение №591 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=8, BC=5 и CD=27.

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 5 и CD = 27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2019, Досрочная волна 2013

Окружность вписанная в четырехугольник авсд делит стороны ад и сд точками касания

У четырёхугольника описанного около окружности сумма длин противоположных сторон равна:

AD + BC = DC + AB
AD + 5 = 27 + 8
AD = 27 + 8 – 5
AD = 30

Ответ: 30.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

🎬 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать

ЕГЭ по математике. Задание №16 #11

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника ЯщенкоСкачать

ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника Ященко

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.

11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

Задача 27872 Математика ЕГЭ Профиль Задание № 6 Описанные окружностиСкачать

Задача 27872  Математика ЕГЭ  Профиль  Задание № 6  Описанные окружности

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/Скачать

Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/

ЕГЭ 2022 16 вариант 3 задача.Скачать

ЕГЭ 2022 16 вариант 3 задача.
Поделиться или сохранить к себе: