Задание 6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 8 , ВС = 4 и CD = 25. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
Так как в четырехугольник вписана окружность, то он обладает свойством, что сумма его противоположных сторон равна, т.е.
Найдем сторону AD из этого равенства, получим
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d ) |
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, ) | (1) |
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. ) | (2) |
Из равенств (1) и (2), следует:
( small AB+CD=AD+BC. ) |
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. ) | (3) |
Но по условию данной теоремы:
( small AB+CD=AD+BC. ) | (4) |
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 ) |
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 ) |
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1) |
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Видео:Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать
Решение №591 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=8, BC=5 и CD=27.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 5 и CD = 27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2019, Досрочная волна 2013
У четырёхугольника описанного около окружности сумма длин противоположных сторон равна:
AD + BC = DC + AB
AD + 5 = 27 + 8
AD = 27 + 8 – 5
AD = 30
Ответ: 30.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.
🎬 Видео
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать
ЕГЭ по математике. Задание №16 #11Скачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
ОГЭ по математике 2024. Задание 16. Разбор задач из нового сборника ЯщенкоСкачать
16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать
11.52.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать
Задача 27872 Математика ЕГЭ Профиль Задание № 6 Описанные окружностиСкачать
2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
Геометрия. 9 класс. Вписанные и описанные четырехугольники /20.04.2021/Скачать
ЕГЭ 2022 16 вариант 3 задача.Скачать