Многогранники составленные из треугольников

Содержание
  1. Многогранники составленные из треугольников
  2. Икосаэдр
  3. Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.
  4. Математические характеристики икосаэдра
  5. Вариант развертки
  6. Презентация по геометрии на тему » Многогранники».
  7. Описание презентации по отдельным слайдам:
  8. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  9. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  10. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  11. Дистанционные курсы для педагогов
  12. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  13. Другие материалы
  14. Вам будут интересны эти курсы:
  15. Оставьте свой комментарий
  16. Автор материала
  17. Дистанционные курсы для педагогов
  18. Подарочные сертификаты
  19. 🎬 Видео

Видео:10 класс, 27 урок, Понятие многогранникаСкачать

10 класс, 27 урок, Понятие многогранника

Многогранники составленные из треугольников

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 1,а). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 1,в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.
Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 1,г. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.
Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.
Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 1,б), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.
Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 1,д. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.
Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.
Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.
В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.
Как мы знаем, существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n — угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней этого многогранника. Тогда

n Г = 2P; Г = ; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В — Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2mnm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2)
Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"

Икосаэдр

Многогранники составленные из треугольников

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Поэтому на вопрос — «что такое икосаэдр?», можно дать следующее определение: » Икосаэдр это геометрическое тело из двадцати граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 20;
  • Число рёбер, примыкающих к вершине – 5;
  • Общее число вершин – 12;
  • Общее число рёбер – 30.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (60° x 5).
Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№13 - Многогранник.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№13 - Многогранник.)

Математические характеристики икосаэдра

Многогранники составленные из треугольников

Икосаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы икосаэдра

Многогранники составленные из треугольников

где a — длина стороны.

Многогранники составленные из треугольников

Сфера может быть вписана внутрь икосаэдра.

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Многогранники составленные из треугольников

Многогранники составленные из треугольников

Многогранники составленные из треугольников

Для наглядности площадь поверхности икосаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон икосаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 20. Либо воспользоваться формулой:

Многогранники составленные из треугольников

Многогранники составленные из треугольников

Объем икосаэдра определяется по следующей формуле:

Многогранники составленные из треугольников

Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Вариант развертки

Икосаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Многогранники составленные из треугольников

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с «земным» элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

Многогранники составленные из треугольников

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски 20 граней икосаэдра с использованием пяти цветов.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№16 - Правильные многогранники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№16 - Правильные многогранники.)

Презентация по геометрии на тему » Многогранники».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Многогранники составленные из треугольников

Описание презентации по отдельным слайдам:

Многогранники составленные из треугольников

Многогранники составленные из треугольников

Определение: выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. Существует всего 5 видов правильных многогранников: Тетраэдр Гексаэдр (Куб) Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Многогранники составленные из треугольников

Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем тетраэдра:

Многогранники составленные из треугольников

Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии — центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности куба: Объем куба:

Многогранники составленные из треугольников

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем октаэдра:

Многогранники составленные из треугольников

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии — центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем додекаэдра:

Многогранники составленные из треугольников

Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем икосаэдра:

Многогранники составленные из треугольников

Кроме правильных, существует тринадцать многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед – это тела Архимеда. Все многогранные углы у них равны, а грани – правильные многоугольники разных видов. Причем в каждой вершине сходится одно и тоже количество граней. «Архимедовы тела» можно получить с помощью операции «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.

Многогранники составленные из треугольников

Ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым ещё добавлено 12 квадратов. Ромбокубооктаэдр имеет 8 треугольников и 18 квадратов. Итого получается, что в ромбокубооктаэдре 26 граней, 24 вершины и 48 рёбер. В форме ромбокубооктаэдра построено национальная библиотека Беларуси.

Многогранники составленные из треугольников

Кубооктаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов). В кубооктаэдре 12 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два квадрата, а также 24 одинаковых ребра. Двойственный к кубооктаэдру многогранник — ромбододекаэдр. объём: площадь: двугранный угол:

Многогранники составленные из треугольников

Ромбоикосододекаэдр —полуправильный многогранник, состоящий из 12 правильных ятиугольников, 30 квадратов и 20 треугольников. Он состоит из: 62 граней 120 рёбер 60 вершин При каждой вершине находятся четыре грани (2 квадрата, треугольник и пятиугольник)

Многогранники составленные из треугольников

Ромбоусечённый икосододекаэдр Ромбоусечённый кубооктаэдр Курносый куб Усечённый куб Икосододекаэдр

Многогранники составленные из треугольников

Многогранники составленные из треугольников

Ромбододекаэдр, — многогранник, составленный из двенадцати одинаковых ромбов. У ромбостороннего додекаэдра 14 вершин, 6 из которых являются вершинами меньших углов 4-х ромбов, а 8 — вершинами 3-х ромбов при их больших углах. Острый угол каждого ромба приблизительно равен 70,53 градуса (два арксинуса одного, делёного на корень из трёх), а тупой

109,47 градуса (180 минус острый). Одинаковыми ромбододекаэдрами можно заполнить трехмерное пространство без промежутков и наложений

Многогранники составленные из треугольников

Тетракисгексаэдр – это многогранник, состоящий из 24 треугольников. По сути, это куб, только вместо граней у него четырёхугольные пирамиды. У этого многогранника: 24 грани 14 вершин 36 рёбер Каждый двугранный угол тетракисгексаэдра приблизительно равен В природе форму тетракисгексаэдр могут принимать кристаллы меди и флюорита.

Многогранники составленные из треугольников

Пентакисдодекаэдр- Каталаново тело, представляющее из себя додекаэдр, только вместо граней пентагональные пирамиды. Элементы пентакисдодекаэдра: 60 граней 90 ребёр 32 вершины Двугранный угол между гранями приблизительно равен Этот многогранник- используют для получения соединения Карбон 60, то есть в каждой вершине один атом карбона.

Многогранники составленные из треугольников

Пентагональный икоситетраэдр Триакисоктаэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Ромботриаконтаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр

Многогранники составленные из треугольников

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Многогранники составленные из треугольников

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров.

Многогранники составленные из треугольников

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Многогранники составленные из треугольников

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Одна из этих звёздчатых форм называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Многогранники составленные из треугольников

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники

Многогранники составленные из треугольников

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 1009 человек из 78 регионов

Многогранники составленные из треугольников

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 311 человек из 70 регионов

Многогранники составленные из треугольников

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 678 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Геометрия 10 кл Понятие многогранникаСкачать

Геометрия 10 кл Понятие многогранника

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 549 164 материала в базе

Другие материалы

  • 17.03.2017
  • 345
  • 0
  • 17.03.2017
  • 572
  • 2
  • 17.03.2017
  • 6676
  • 11
  • 17.03.2017
  • 1469
  • 21
  • 17.03.2017
  • 1188
  • 0
  • 17.03.2017
  • 5058
  • 16
  • 17.03.2017
  • 796
  • 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 17.03.2017 1647
  • PPTX 4.7 мбайт
  • 2 скачивания
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Чарухова Зоре Ходжаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Многогранники составленные из треугольников

  • На сайте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 138157
  • Всего материалов: 142

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранника

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Многогранники составленные из треугольников

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Многогранники составленные из треугольников

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Многогранники составленные из треугольников

Володин призвал выработать единые нормы организации групп продленного дня

Время чтения: 2 минуты

Многогранники составленные из треугольников

Общество «Знание» в 2022 году планирует запустить серию хакатонов и школу лекторов

Время чтения: 2 минуты

Многогранники составленные из треугольников

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Многогранники составленные из треугольников

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

Многогранники составленные из треугольников

Минпросвещения определило порядок получения заключений на международные договоры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎬 Видео

Многогранники. Геометрия 11 класс.Скачать

Многогранники. Геометрия 11 класс.

10 класс - Геометрия - Понятие многогранника. ПризмаСкачать

10 класс - Геометрия - Понятие многогранника. Призма

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Лекция № 7. Многогранники. Виды многогранников. Основные позиционные задачиСкачать

Лекция № 7. Многогранники. Виды многогранников. Основные позиционные задачи

МногогранникиСкачать

Многогранники

Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Правильные и полуправильные многогранники

Правильные многогранникиСкачать

Правильные многогранники

Многогранник. 11 класс.Скачать

Многогранник. 11 класс.

Изгибаемые многогранники | Александр Гайфуллин | ЛекториумСкачать

Изгибаемые многогранники | Александр Гайфуллин | Лекториум

10 класс, 36 урок, Понятие правильного многогранникаСкачать

10 класс, 36 урок, Понятие правильного многогранника

Геометрия 11 класс (Урок№16 - Многогранники. Методы решения.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№16 - Многогранники. Методы решения.)
Поделиться или сохранить к себе: