Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать
Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.
Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;
внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.
Описанные углы видны на рисунке:
Теорема.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:
1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;
3. соответственные углы одинаковы;
4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;
5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;
Данную теорему иллюстрирует рисунок:
Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.
1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;
2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;
3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;
4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;
5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.
1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).
2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.
Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.
Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.
3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.
4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.
5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.
Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.
Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:
1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;
или 3. Соответственные углы одинаковые;
или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;
или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки параллельности прямых
При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой
| Рисунок | Определение углов |
 | Внутренние накрест лежащие углы |
 | |
 | Внешние накрест лежащие углы |
 | |
 | Соответственные углы |
 | |
 | |
 | |
 | Внутренние односторонние углы |
 | |
 | Внешние односторонние углы |
 |
| Внутренние накрест лежащие углы |
|
|
| Внешние накрест лежащие углы |
|
|
| Соответственные углы |
|
|
|
|
| Внутренние односторонние углы |
|
|
| Внешние односторонние углы |
|
|
Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.
Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.
Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать
Признаки параллельности двух прямых
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы равны |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внешние накрест лежащие углы равны |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы равны |
 | |
 | |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180° |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180° |
 |
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны |
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
Переход свойства параллельности прямых
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Если прямая a параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой c , то прямая a параллельна прямой c |
Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c
Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.
Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.
🌟 Видео
7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать
ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая. Учимся находить односторонние углы.Скачать
Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Углы при параллельных прямыхСкачать
УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать
СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Параллельные прямые (задачи).Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать
Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать
НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая, углы при секущей.Скачать
