Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетВнутренние накрест лежащие углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетВнешние накрест лежащие углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетСоответственные углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетВнутренние односторонние углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетВнешние односторонние углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Внутренние накрест лежащие углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Внешние накрест лежащие углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Соответственные углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Внутренние односторонние углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Внешние односторонние углы
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

РисунокПризнак параллельности
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Односторонние углы при параллельных прямых равны или нетЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Односторонние углы при параллельных прямых равны или нет

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

🎥 Видео

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Углы при параллельных прямыхСкачать

Углы при параллельных прямых

ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая. Учимся находить односторонние углы.Скачать

ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая. Учимся находить односторонние углы.

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .Скачать

СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая, углы при секущей.Скачать

НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая, углы при секущей.
Поделиться или сохранить к себе: