Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля – это плавно меняющаяся от точки к точке векторная величина, ротор которой равен магнитной индукции.

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Векторный потенциал можно применять для любых областей пространства, в том числе и для областей занятых токами.

Уравнение Найти вектор потенциал однородного магнитного полявозможно с учетом того, что Найти вектор потенциал однородного магнитного поля(принцип непрерывности) тогда Найти вектор потенциал однородного магнитного поля, а дивергенция от любого ротора равна нулю (из математики).

Векторный потенциал магнитного поля вводится для расчета вихревых полей ( Найти вектор потенциал однородного магнитного поля). Но применим и для расчета потенциальных полей Найти вектор потенциал однородного магнитного поля.

Направление векторного магнитного потенциала такое же, как и у тока в проводнике.

С помощью векторного потенциала магнитного поля решают следующие типы задач:

1) Определение магнитной индукции Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

2) Определение магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур.

Пример: Определить поток Найти вектор потенциал однородного магнитного поля, пронизывающий рамку, который создаётся проводником с током.

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

По теореме Стокса: заменим поверхностный интеграл на линейный (поток через поверхность ограниченную контуром заменим на циркуляцию по контуру):

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Уравнение Пуассона

Для областей занятых токами Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Умножим обе части уравнения на магнитную проницаемость Найти вектор потенциал однородного магнитного поля=const:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Линии векторного магнитного потенциала замкнуты на себя, то есть: Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Тогда Найти вектор потенциал однородного магнитного поля-уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала.

Поскольку в обе части уравнения входят векторные величины, то это уравнение можно переписать для декартовой системы координат:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Решая это уравнение, получим проекции на оси координат:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

умножим на единичные орты, получим:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля— общее решение уравнения Пуассона.

С помощью этой формулы можно найти векторный потенциал в любой точке поля, для этого интеграл в правой части уравнения должен быть взят по всем областям, занятым током.

Однако, пользоваться этой формулой каждый раз нецелесообразно, так как взятие интеграла правой части формулы сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.

Пример: В точке А необходимо определить направление Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Составляющая векторного магнитного потенциала имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Метод зеркальных изображений

В магнитном поле постоянного тока, вблизи границы раздела двух сред, для расчета поля используют метод зеркальных изображений.

Методика расчета полностью аналогична задаче расчета электростатического поля, созданного двумя заряженными осями, расположенными вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями.. Линейная плотность заряда заменяется током ( Найти вектор потенциал однородного магнитного поля), а относительная диэлектрическая постоянная среды — относительной магнитной постоянной( Найти вектор потенциал однородного магнитного поля)

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поляи Найти вектор потенциал однородного магнитного поля— фиктивные токи

Найдем фиктивные токи, исходя из граничных условий. Для этого рассмотрим точку, лежащую на границе раздела сред; ее можно считать принадлежащей как к первой, так и ко второй среде.

Из первого граничного условия Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Левая часть уравнения определяет принадлежность точки первой среде.

Правая часть уравнения определяет принадлежность точки второй среде.

Сокращая одинаковые элементы в правой и левой частях уравнения, получим

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Из второго граничного условия Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Левая часть уравнения определяет принадлежность точки к первой среде.

Правая часть уравнения определяет принадлежность точки ко второй среде.

Сокращая одинаковые элементы в правой и левой частях уравнения, получим:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Решая систему из двух уравнений, получим значения фиктивных токов:

Видео:Потенциал электрического поля. 10 класс.Скачать

Потенциал электрического поля. 10 класс.

Векторный потенциал

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.

В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля φ. А вот rot от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Или, расписывая компоненты:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Запись В=vхА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Поле А называется векторным потенциалом.

Вспомним, что скалярный потенциал φ оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал φ, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал φ′, добавив постоянную:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Новый потенциал φ′ дает те же электрические поля, потому что градиент vС есть нуль; φ′ и φ отвечают одной и той же картине.

Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А′, будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле В. Значит, А и А′ имеют одинаковый ротор

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем ψ, так что А′—A=vψ. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ψ

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.

Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал φ равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А′ и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, v·A` = v·A+ v 2 ψ, и, подбирая соответствующее ψ, можно придать v·A′ любое значение.

Чему следует приравнять v·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть vхА = В и v·А = 0.

Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В0. Выбирая ось z в направлении В0, мы должны иметь

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Или с тем же успехом можно взять

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Еще одно решение есть комбинация первых двух

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна –у, а y-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r′ (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна √x 2 + y 2 и, следовательно, пропорциональна r`. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поляВекторный потенциал А равен по величине Вr′/2 и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.

Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от vХА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r′ в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только от r′, то циркуляция будет равна

Видео:Физика - Магнитное полеСкачать

Физика - Магнитное поле

Векторный потенциал магнитного поля

Вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора А:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

причем вектор А при заданном распределении в пространстве электрических токов является функцией координат.

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. Определим его так, чтобы уравнения магнитного поля

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

выполнялись во всем пространстве — и там, где отсутствуют токи, и там, где они есть , т.е. J ^ 0.

Подчиним вектор А условию div А = 0, т.е. будем считать, что поле вектора А не имеет источников.

Установим связь между магнитным потоком Ф сквозь некоторую поверхность s и векторным потенциалом А магнитного поля. Имеем

Согласно теореме Стокса Jrot Ads = 2 ф = -—. Решение этого уравнения

Отсюда запишем проекции вектора А:

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Зная проекции, определим вектор

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Для нахождения магнитного поля линейного тока рассмотрим рис. 3.4. Пусть известна плотность линейного тока J. Тогда

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Рис. ЗА. Определение вектора магнитного потенциала для линейного тока

Поскольку ток I = J JdS,

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Определим подынтегральное выражение. Пусть a=dl, 2

Подставив полученные результаты в уравнение (3.6), получаем

Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

Это интегральная формулировка так называемого закона Био и Савара, непосредственно связывающего напряженность магнитного поля с линейным распределением тока.

В дифференциальной форме этот закон имеет вид Найти вектор потенциал однородного магнитного поля

🎥 Видео

Потенциальное поле. Нахождение потенциала векторного поляСкачать

Потенциальное поле.  Нахождение потенциала векторного поля

Электродинамика | векторный потенциал магнитного поля | для взрослыхСкачать

Электродинамика | векторный потенциал магнитного поля | для взрослых

Урок 276. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном полеСкачать

Урок 276. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ сила Ампера правило левой рукиСкачать

ИНДУКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ сила Ампера правило левой руки

Физика 9 класс (Урок№20 - Однородное магнитное поле. Магнитный поток.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№20 - Однородное магнитное поле. Магнитный поток.)

Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)

Вектор потенциал. ЭлектродинамикаСкачать

Вектор потенциал. Электродинамика

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полей

Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | ИнфоурокСкачать

Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | Инфоурок

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ за 24 минуты. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ за 24 минуты. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон. Техноскул

Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать

Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поля

1.1 Векторы напряженности и индукции электрического и магнитного полейСкачать

1.1 Векторы напряженности и индукции электрического и магнитного полей

Урок 270. Магнитное поле и его характеристикиСкачать

Урок 270. Магнитное поле и его характеристики

Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать

Урок 218. Напряженность электрического поля

Работа сил электрического поля. 10 класс.Скачать

Работа сил электрического поля. 10 класс.

Урок 289. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Диа-, пара- и ферромагнетикиСкачать

Урок 289. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Диа-, пара- и ферромагнетики

Урок 287. Индуктивность контура (катушки). Явление самоиндукцииСкачать

Урок 287. Индуктивность контура (катушки). Явление самоиндукции
Поделиться или сохранить к себе: