Найти вектор конечного потребления

Межотраслевой баланс

С помощью сервиса в онлайн режиме можно:

  • найти коэффициенты полных материальных затрат, определить вектор валовой продукции;
  • составить межотраслевой баланс, составить схему межотраслевого баланса труда;
  • проверить продуктивность матрицы.
  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Система уравнений X = AX + Y называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (МОБ) или моделью «затраты — выпуск». C помощью нее можно выполнить следующие расчеты:

  1. подставив в модель объемы валовой продукции каждой отрасли Xi, можно определить объем конечной продукции отрасли Yj: Y = (E — A)X
  2. задав величины конечной продукции всех отраслей Yj, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли Xi: X = (E — A) -1 Y
  3. установив для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти объемы конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Здесь A – матрица прямых затрат, коэффициенты которой, aij показывают затраты i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли. Введем обозначение B = (E — A) -1 . Матрица B называется матрицей полных материальных затрат, коэффициенты которой, bij показывают полный объем продукции i-й отрасли, используемой для производства единицы продукции j-й отрасли. С учетом линейности соотношений эффект распространения спроса ΔX, вызванный изменением конечного спроса на величину ΔY рассчитывается как: ΔX = B·ΔY
Через C=A-B обозначают матрицу косвенных затрат.

Пример №1 . Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y .

Пример №2 . Дан межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства:

№ отрасли потребления123Конечный продуктВаловый продуктY’
№ отрасли1202060100200150
отрасли220406080200100
производства32001070100100

Определить:
1) технологическую матрицу;
2) матрицу коэффициентов полных затрат;
3) дать экономический анализ каждого столбца матрицы коэффициентов полных затрат;
4) определить валовый выпуск X’ на новый ассортимент конечной продукции Y’;

Решение.
Находим валовой объем продукции xi;
x1 = 20 + 20 + 60 + 100 = 200
x2 = 20 + 40 + 60 + 80 = 200
x3 = 20 + 0 + 10 + 70 = 100

ОтрасльПотреблениеКонечный продуктВаловой выпуск
Производство

202060100200
20406080200
2001070100

По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:
a11 = 20/200 = 0.1; a12 = 20/200 = 0.1; a13 = 60/100 = 0.6; a21 = 20/200 = 0.1; a22 = 40/200 = 0.2; a23 = 60/100 = 0.6; a31 = 20/200 = 0.1; a32 = 0/200 = 0; a33 = 10/100 = 0.1;

0.10.10.6
0.10.20.6
0.100.1

Определим матрицу коэффициентов полных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.
а) Находим матрицу (E-A):

(E-A) =
0,9-0,1-0,6
-0,10,8-0,6
-0,100,9

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :

0,9-0,1-0,6
-0,10,8-0,6
-0,100,9

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

X’ = (B -1 *Y’) =
1,230,150,92
0,261,281,03
0,140,01711,21
*
150
100
100
=
292
270
144

Пример №3 . В модели межотраслевого баланса

ПроизводствоПотреблениеКонечная продукцияВаловая продукция
123
11051570100
220
330
Оплата труда30
Прибыль DD

прибыль D равна:
D = Валовая продукция – Затраты на производство – Оплата труда = 100 – (10+20+30) – 30 = 10.

Видео:2 37 Нахождение орта вектораСкачать

2 37 Нахождение орта вектора

16.3.2. Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора Найти вектор конечного потребления с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор Найти вектор конечного потребления, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора Найти вектор конечного потребленияс неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение Найти вектор конечного потребленияс неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора Найти вектор конечного потребления, чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Найти вектор конечного потребления

Если существует обратная матрица (EА)-1 , то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Найти вектор конечного потребления

Матрица (Е — А)-1 называется Матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е — А)-1 сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

Найти вектор конечного потребления

Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

Найти вектор конечного потребления

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): Xij — первые пять столбцов, Уi — шестой столбец, Xi — последний столбец (I,J = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Найти вектор конечного потребления

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

Найти вектор конечного потребления

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конеч­ного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Найти вектор конечного потребления

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Найти вектор конечного потребления

Требуется найти новый вектор валового выпуска Найти вектор конечного потребления*, удов­летворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты X1, X2, х3 неизвестного вектора Найти вектор конечного потребления* находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

Найти вектор конечного потребления

В матричной форме эта система выглядит следующим об­разом:

Найти вектор конечного потребления

Найти вектор конечного потребления

Где матрица (Е — А) имеет вид

Найти вектор конечного потребления

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) да­ет новый вектор Найти вектор конечного потребления* как решение системы уравнений баланса (16.10):

Найти вектор конечного потребления

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное уве­личение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и пе­реработку углеводородов на 52,2%, уровень энергетики — на 35,8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по срав­нению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.

Видео:Модель межотраслевого баланса. Часть 2 ПрактикаСкачать

Модель межотраслевого баланса. Часть 2 Практика

Лабораторная работа № 5

модель межотраслевой баланс международная торговля

Программное обеспечение: Microsoft Excel. Основные сведения

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, называемую еще моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на n отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).

Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,…, n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме xi, который еще называют валовым выпуском. Часть объема продукции xi , произведенная i-ой отраслью используется для собственного производства в объеме xii , часть — поступает в остальные отрасли j = 1, 2,…, n для потребления при производстве в объемах xij , и некоторая часть объемом yi — для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления. Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношению баланса

Найти вектор конечного потребления

Введем коэффициенты прямых затрат aij , которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме xij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, равно

Найти вектор конечного потребления

Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых затрат aij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева

Найти вектор конечного потребления

Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y

Найти вектор конечного потребления

модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде

Матрица A ? 0, у которой все элементы aij ? 0 (неотрицательны), называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ? 0, для которого выполняется неравенство

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью.

Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E — A)-1 с неотрицательными элементами, где матрица E — единичная матрица

Найти вектор конечного потребления

С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:

1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции всех отраслей Y

2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величины валовой продукции каждой отрасли

3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей — объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

называется матрицей полных материальных затрат. Ее смысл следует из матричного равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.

Пример с использованием технологии Excel

Задача. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:

Найти вектор конечного потребления

  • 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B
  • 2) Проверить продуктивность матрицы A
  • 2) Вектор валового выпуска X
  • 3) Межотраслевые поставки продукции xij

Математическая модель и последовательность расчетов

Модель Леонтьева имеет вид

Матрица полных материальных затрат B равна

Продуктивность матрицы A проверяется, по вычисленной матрице B. Если эта матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.

Вектор валового выпуска X рассчитывается по формуле

Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются по формуле

Процесс решения задачи средствами Microsoft Excel

Для решения задачи межотраслевого баланса необходимо уметь выполнять с помощью Excel следующие операции над матрицами:

  • — Умножение матрицы на вектор
  • — Умножение двух матриц
  • — Транспонирование матрицы или вектора
  • — Сложение двух матриц
  • 1. Задание Исходных данных задачи

Вызовите Microsoft Excel.

Введите матрицу A в ячейки с адресами А2:С4 и вектор Y в ячейки с адресами Е2:Е4 (рис. 1).

Найти вектор конечного потребления

Рис. 1. Задание исходных данных и последовательное выполнение плановых расчетов

  • 2. Вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат B.
  • 2.1 Введите единичную матрицу Е в ячейки с номерами А7:С9.
  • 2.2 Вычислите матрицу Е — А. Матрица Е — А является разностью двух матриц Е и А. Для вычисления разности двух матриц необходимо проделать следующее:
    • — установите курсор мыши в левый верхний угол (это ячейка с адресом А12) результирующей матрицы Е — А, которая будет расположена в ячейках с адресами А12:С14;
    • — введите формулу =А7-А2 для вычисления первого элемента результирующей матрицы Е — А, предварительно установив английскую раскладку клавиатуры;
    • — введенную формулу скопируйте во все остальные ячейки результирующей матрицы. Для этого, установите курсор мыши в ячейку А12; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С12, а затем так же протяните указатель мыши до ячейки С14.

В результате в ячейках А12:С14 появится искомая матрица, равная разности двух исходных матриц Е и А.

  • 2.3 Вычислите матрицу B = (E — A)-1 , являющейся обратной по отношению к матрице Е — А. Матрица Е — А расположена в ячейках с адресами А12:С14. Для вычисления матрицы В необходимо проделать следующее:
    • — выделите диапазон ячеек А17:С19 для размещения матрицы В;
    • — нажмите на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В появившемся окне в поле Категория выберите Математические, а в поле Выберите функцию — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК;
    • — появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы Е — А и введите диапазон матрицы Е — А (диапазон ячеек А12:С14) в рабочее поле Массив (протащив указатель мыши при нажатой левой кнопке от ячейки А12 до ячейки С14);
    • — нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Обратите внимание, что нажимать надо не клавишу ОК(!), а именно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В диапазоне ячеек А17:С19 появится искомая обратная матрица (E — A)-1 , равная матрице B.

3. Проверка продуктивности матрицы А.

Поскольку матрица В найдена, следовательно она существует. Все элементы матрицы В неотрицательны, поэтому матрица В — продуктивна.

4. Вычисление вектора валового выпуска X.

Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной формуле X = BY, в которой матрица В вычислена, а вектор Y задан.

Вычисление вектора X = BY производится с помощью операции умножения матриц, а в данном случае — умножения матрицы В на вектор Y. Для этого необходимо:

  • — выделить диапазон ячеек Е7:Е9, где будет расположен вектор Х. Обратите внимание, что по правилам умножения матриц, размерность результирующей матрицы Х должна быть равна количеству строк матрицы В на количество столбцов матрицы Y. В нашем случае, размерность вектора Х равна: три строки на один столбец;
  • — нажать на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В появившемся окне в поле Категория выберите Математические, а в поле Выберите функцию — имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;
  • — появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц В и Y и введите диапазон матрицы В (диапазон ячеек А17:С19) в рабочее поле Массив 1 (протащив указатель мыши при нажатой левой кнопке от ячейки А17 до ячейки С19), а диапазон вектора Y (ячейки Е2:Е4) в рабочее поле Массив 2 (рис. 2);

Найти вектор конечного потребления

Рис. 2. Диалоговое окно умножения матриц МУМНОЖ

— нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Обратите внимание, что нажимать надо не клавишу ОК(!), а именно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В диапазоне ячеек Е7:Е9 появится искомый вектор Х.

5. Вычисление межотраслевых поставок продукции xij

Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются по формуле

где aij — элементы исходной матрицы А, расположенной в ячейках А2:С4, xj — элементы вектора Х, найденного выше в п. 4 и расположенные в ячейках Е7:Е9.

Для проведения вычислений xij необходимо проделать следующее.

5.1 Вычислить транспонированный вектор Хт относительно вектора Х. При этом вектор-столбец Х станет вектором-строкой Хт. Это необходимо для согласования размерностей дальнейшего умножения элементов векторов.

  • — выделить указателем мыши при нажатой левой кнопке ячейки Е12:G12, в которых будет располагаться транспонированный вектор Хт ;
  • — нажать на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В появившемся окне в поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в поле Выберите функцию — имя функции ТРАНСП (рис. 3). Щелкните на кнопке ОК;
  • — появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходного вектора Х и введите диапазон вектора Х (диапазон ячеек Е7:Е9) в рабочее поле Массив (протащив указатель мыши при нажатой левой кнопке от ячейки Е7 до ячейки Е9);
  • — нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Найти вектор конечного потребления

Рис. 3. Диалоговое окно транспонирования матрицы ТРАНСП

В результате в поле ячеек Е12:G12 расположится транспонированный вектор Хт .

  • 5.2 Вычислить межотраслевые поставки продукции xij . Для этого проделать следующие операции:
    • — поставить курсор мыши в ячейку А22, в которой будет расположено значение x11. В этой ячейке набрать формулу =A2*E12, которая означает, что x11 = a11 x1 .
    • — введенную формулу скопируйте во все остальные ячейки первой строки (в ячейки А22:С22, протащив мышью крестик в правом нижнем углу от ячейки А22 при нажатой левой кнопке мыши, до ячейки С22. При этом будут вычислены x12 = a12 x2 и x13 = a13 x3.

Затем в ячейке А23 наберите формулу =A3*E12 и повторяя аналогичную процедуру, получите значения x21 = a21 x1 , x22 = a22 x2 и x23 = a23 x3 . Повторите аналогичные действия для ячеек А24:С24.

В результате все межотраслевые поставки продукции будут найдены и расположатся в матрице с ячейками А22:С24.

💥 Видео

Модель межотраслевого баланса. Часть 1 ТеорияСкачать

Модель межотраслевого баланса. Часть 1 Теория

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость и  линейная независимость  векторов.

Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Модель Леонтьева. Теория и решение задачи.Скачать

Модель Леонтьева. Теория и решение задачи.

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Модель Леонтьева "затраты-выпуск" в MS ExcelСкачать

Модель Леонтьева "затраты-выпуск" в MS Excel

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные значения

МатЭк 8О-408б Модель ЛеонтьеваСкачать

МатЭк 8О-408б Модель Леонтьева

Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема

Григорий Копанев. Межотраслевой балансСкачать

Григорий Копанев. Межотраслевой баланс

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Линейная зависимость векторов на примерахСкачать

Линейная зависимость векторов на примерах
Поделиться или сохранить к себе: