Найти координаты вектора x в базисе e1 e2 e3 если (7 видео)

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =

2	1	3
3	-2	1
1	-3	-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = &#945₁ε₁ + &#945₂ε₂ + &#945₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁😉 + (3α₂;-2α₂;1α₂😉 + (1α₃;-3α₃;-4α₃😉
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Найти координаты вектора x в базисе e1 e2 e3 если

Решение. Матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису . является матрица S = 2 -2 -5 . По теореме 4 (раздел 3.3):

Поэтому . Значит, нам нужно найти матрицу обратного перехода S-i. Примеры вычислений обратной матрицы есть в разделе 2.6.

Находим координаты x в базисе e1, e2, e3:

10. Доказать, что элементы u1 = (1,1,1), U2 = (1, 2, 3), U3 = (1, 4, 5) образуют базис в пространстве R 3 . Найти матрицу перехода от этого базиса к базису v1 = (1,1,1), V2 = (0,1,1), V3 = (0, 0,1). Какие координаты имеет вектор x = 2v1 + 3v2 — 2V3 в базисе u1, U2, U3?

Решение. Пространство R 3 трёхмерно, поэтому 3 вектора образуют базис, если они линейно независимы. Проверим линейную независимость u1, U2, U3 — как и в примерах выше. Допустим, что . Рассмотрим матрицу полученной системы уравнений:

Ранг матрицы равен 3, поэтому система имеет только нулевое решение: a1 = a2 = a3 = 0. Значит, u1, U2, U3 линейно независимы.

Для построения матрицы перехода S от базиса u1, u2, u3 к базису vi, V2, V3 разложим векторы v1, V2, V3 по базису

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать что векторы е1 е2 е3 образуют базис и найти координаты вектора Х в этом базисе.
Х=(-4,-2,5)
е1=(1,-1,1)
е2=(-3,0,2)
е3=(1,-1,2)

Даны векторы e1(1;-1;1), e2(-3;0;2), e3(1;-1;2), X(-4;-2;5). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.

Вычислим определитель матрицы:

Определитель матрицы равен ∆ =-3

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:

X = α1e1 + α2e2 + α3e3

Запишем данное равенство в координатной форме:

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:

(-4;-2;5) = (1α1;-1α1;1α1;) + (-3α2;0α2;2α2;) + (1α3;-1α3;2α3;)

(-4;-2;5) = (1α1 -3α2 + 1α3;-1α1 + 0α2 -1α3;1α1 + 2α2 + 2α3)

По свойству равенства векторов имеем:

1α1 -3α2 + 1α3 = -4

-1α1 + 0α2 -1α3 = -2

1α1 + 2α2 + 2α3 = 5

Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.