Найти его матрицу в базисе в котором даны координаты всех векторов (7 видео)

Индивидуальное задание №7 «Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа»

Содержание

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №7
«МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА»
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Как найти координаты вектора в базисе
Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису
Разложение вектора по базису
Связь между базисами
📹 Видео

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №7

«МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА»

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

1. В линейном пространстве A3 задано линейное преобразование φ такое, что для x=(x1, x2, x3): φx=(x2+x3, 2×1+x3, 3×1–x2+x3). Доказать, что φ – линейное преобразование. Найти его матрицы в базисах:

2. Векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) линейным преобразованием φ преобразуются соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2). Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты всех векторов.

3. Дана матрица линейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=2e1–e2+3e3.

1. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу справа есть линейное преобразование. Найти его матрицу в базисе , , , .

2. Пусть φ:L→L, dim L=2 – линейное преобразование, имеющее в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) матрицу , а линейное преобразование η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей . Найти матрицы линейных преобразований φ+η, φ∙η в базисе g1, g2.

3. Матрица является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=4e1–3e2+e3.

1. Дано преобразование φ линейного пространства A3, которое вектор x=(x1, x2, x3) переводит в вектор φx=(x1+x2+x3, 2×2, 3×1–x3). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицы в базисах:

2. Дана матрица линейного преобразования φ пространства многочленов степени не выше 2 в базисе x2, x, 1. Найти образ вектора f(x)=x2–4x+3.

3. Преобразование φ в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу , а преобразование ψ в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу . Найти матрицу φ∙ψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

1. Преобразование φ пространства многочленов степени не более 3 определяется следующим образом φ(ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx. Доказать, что оно линейно и найти его матрицы в базисах

2. Дана матрица линейного преобразования φ арифметического трехмерного пространства A3 в базисе a1=(2,3,0), a2=(1,1,1), a3=(0,1,1). Найти: 1) образ вектора b=4a1+8a2–a3; 2) матрицу преобразования φ в базисе e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

3. Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу . Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=2e1+e2, a2=3e1+e2.

1. В пространстве многочленов степени не выше 3 дано преобразование, которое всякий многочлен a0+a1x+a2x2+a3x3 отображает в многочлен a0+a1x+a2x2. Доказать, что преобразование φ линейное и найти его матрицы в базисах:

2). 1+x, 2–x–x2, x2–1, 3×3.

2. Линейное преобразование φ в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу . Линейное преобразование ψ в базисе b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу . Найти матрицу преобразования φ•ψ в базисе a1, a2.

3. Дана матрица линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3 и a=4e1+e2–e3.

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 задано преобразование φ такое, что φ(f(x))=f(x+1)–f(x). Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах:

2. Пусть φ:L→L линейное преобразование, в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) имеющее матрицу , а линейное преобразование η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей . Найти матрицы линейных преобразований φ–η, φ∙η в базисе u1, u2.

3. Дана матрица линейного преобразования φ в базисе a1, a2, a3. Найти образы векторов a1, a2, a3, b=a1+2a3.

1. Найти матрицы линейного преобразования дифференцирования пространства многочленов степени не выше 2 в базисах

2). 1, x–1, .

2. Найти матрицу линейного преобразования трехмерного пространства A3, переводящего векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2), в том базисе, в котором заданы векторы.

3. Дана матрица линейного преобразования φ в базисе e1, e2. Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=3e1–e2, a2=e1+e2.

1. Дан базис e1, e2, e3, e4 линейного пространства L, линейное преобразование φ:L→L такое, что φe1=e1+e2, φe2=e2+e3, φe3=e3+e4, φe4=e4+e1. Доказать, что векторы g1=φe1–φe2, g2=φe2–φe3, g3=φe1+φe3, g4=e4 образуют базис пространства L, и написать матрицу линейного преобразования φ в базисе g1, g2, g3, g4.

2. Пусть линейное преобразование φ в базисе a1=(0,1), a2=(1,1) имеет матрицу , линейное преобразование ψ в базисе b1=(1,3), b2=(2,4) имеет матрицу . Найти матрицу преобразования φ∙ψ в базисе a1, a2.

3. Матрица является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=e1+3e2–5e3.

1. В линейном пространстве L даны базис e1, e2, e3 и линейное преобразование φ:L→L такое, что φe1=e1+e2, φe2=e1+e3, φe3=e3+e2. Доказать, что векторы g2=φe2, g3=φe3, g1=φe1 образуют базис в L, и написать матрицы линейного преобразования в базисах:

2. Составить матрицы линейного преобразования φ линейного пространства А3, переводящего векторы x1=(0,0,1), x2=(0,1,0), x3=(1,1,1) соответственно в векторы y1=(2,3,5), y2=(1,0,0), y3=(0,1,−1) в базисах:

3. Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу . Найти образы векторов e1, e2, a=3e1+5e2.

1. В линейном пространстве А3 задано линейное преобразование φ такое, что для вектора x=(x1, x2, x3) φx=(x2+x3, 2×1–x2, x1+x3). Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах

2. В пространстве многочленов степени не выше 3 даны два линейных преобразования

Найти матрицу линейного преобразования φ∙ψ в базисе x3, x2, x, 1.

3. Матрица является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=3e1–2e2+e3.

1. Проверить, что транспонирование квадратных матриц второго порядка есть линейное преобразование. . Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе , , , .

2. Линейное преобразование φ: L→L в базисе e1, e2 имеет матрицу . Найти его матрицу в базисе a1=e1+2e2, a2=2e2+3e3.

3. Линейное преобразование φ: L→L переводит векторы a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2) соответственно в векторы b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,1,1). Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

1. Доказать, что преобразование φ линейного пространства А3, переводящее вектор x=(x1, x2, x3) в вектор φx=(x1+x2, x2+3×3, 3×3), является линейным. Найти матрицы преобразования φ в базисах:

2. Матрица является матрицей линейного преобразования φ в базисе a1=(1,2), a2=(3,0). Матрица является матрицей линейного преобразования ψ в базисе e1=(1,0), e2=(0,1). Найти матрицы преобразований φ+ψ и φ∙ψ в базисе a1, a2.

3. Матрица является матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, x=3e1+2e2+e3.

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование φ такое, что φ(ax2+bx+c)=ax2+bx. Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах

2. Линейное преобразование φ в базисе a1=(3,1), a2=(4,2) имеет матрицу , линейное преобразование ψ в базисе b1=(1,2), b2=(2,3) имеет матрицу . Найти матрицы операторов φ+ψ, φ∙ψ в базисе b1, b2.

3. Линейное преобразование φ переводит векторы a1=(1,2), a2=(2,-1) соответственно в векторы b1=(3,1), b2=(2,1). Найти матрицу линейного преобразования φ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃, х»₁ = b₁₁x’₁ + b₁₂x’₂ + b₁₃x’₃,
х’₂ = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»₂ = b₂₁x’1 + b₂₂x’₂ + b₂₃x’₃,
х’₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃, х»₃ = b₃₁x’₁ + b₃₂x’₂ + b₃₃x’₃,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»₁, x»₂, x»₃ через х₁, х₂, х₃.
х’₁ = 4x₁ + 3x₂ + 5x₃, х»₁ = — x’₁ + 3x’₂ — 2x’₃,
х’₂ = 6x₁ + 7x₂ + x₃, х»₂ = — 4x’₁ + x’₂ + 2x’₃,
х’₃ = 9x₁ + x₂ + 8x₃, х»₃ = 3x’₁ — 4x’₂ + 5x’₃,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =

4	3	5
6	7	1
9	1	8

B =

-1	3	-2
-4	1	2
3	-4	5

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

-1	3	-2
-4	1	2
3	-4	5

75 /₁₈₂	-1 46 /₉₁	1 9 /₁₃
-13 /₁₄	1 2 /₇	-1
5 /₁₈₂	1 3 /₉₁	-1 2 /₁₃

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :