Четырехугольник является одновременно вписанным и описанным

Четырехугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.

Вписанные и описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась 180°.

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O.

По теореме 6.1 ∠ A B C + ∠ A D C = 1 2 ∪ A D C + 1 2 ∪ A B C = 1 2 ( ∪ A D C + ∪ A B C ) = 180 ˆ . Аналогично ∠ B A D + ∠ B C D = 180 ˆ .

Достаточность. Пусть ABCD – данный четырехугольник и ∠ B A D + ∠ B C D = 180 ˆ . Существует окружность, проходящая одновременно через три точки A, B и D (теорема 6.5). Пусть точка C лежит внутри окружности. Прямая (BC) пересекает окружность в точке C 1 . Тогда четырехугольник A B C 1 D – вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием ∠ B A D + ∠ B C 1 D = 180 ˆ . Но ∠ B C D > ∠ B C 1 D как внешний к углу C 1 C D . Тогда ∠ B A D + ∠ B C D > ∠ B A D + ∠ B C 1 D , что противоречит условию. Следовательно, C лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка C лежит вне окружности. Теорема доказана.

Рис. 7.5.1. К теореме 7.13

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD описанный, и M, P, L, N – точки касания его сторон. Имеем BM = BN, CM = CP, DP = DL, AL = AN (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда BM + MC + AL + LD = BN + AN + CP +PD.

Достаточность. Пусть в четырехугольнике ABCD выполнено равенство AB + CD = BC + AD. Биссектрисы углов (BAD) и (ABC) пересекаются в точке O. Точка O одинаково удалена от прямых AB, BC и AD . Пусть ω (O, r) – окружность, касающаяся сторон AB, BC и AD, а сторона CD пересекает окружность ω. Проведем касательную к окружности ω из точки C, и пусть она пересекает прямую AD в точке D₁. Тогда из необходимого условия – AB + CD₁ = BC + AD₁. Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем CD₁ – CD = AD₁ – AD или CD₁ – CD = DD₁, CD₁ = CD + DD₁. Мы пришли к противоречию, так как CD₁

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон?

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон.

По формуле Брахмагупты площадь вписанного в окружность четырехугольника равна :

где a, b, c, d — стороны четырёхугольника, p — полупериметр.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.

Уберём из формулы площади полупериметр, зная, что a + b = c + d :

$S = sqrt<(dfrac(a + b + c + d) — a)(dfrac(a + b + c + d) — b)> cdot \ \ sqrt<dfrac(a + b + c + d) — c)(dfrac(a + b + c + d) — d)> = \ \ sqrt<bigg(dfracbigg )^4(a + b + c -d)(a + b — c + d)(a — b+ c + d)(-a + b + c + d) > = \ \ sqrt<bigg(dfracbigg )^4(c + d + c -d)(c + d — c + d)(a — b+ a + b)(-a + b + a + b) >= \ \ sqrt< dfrac 2c cdot 2d cdot 2a cdot 2b > = sqrt< dfraccdot 16abcd > = boxed <sqrt>$.

Сторона правильного четырехугольника равна 10 см?

Сторона правильного четырехугольника равна 10 см.

Найдите радиус окружности описанной около этого четырехугольника.

Как найти сторону описанного четырехугольника x + 4, если соседние стороны равны по 5 см?

Как найти сторону описанного четырехугольника x + 4, если соседние стороны равны по 5 см?

Как найти сторону описанного четырехугольника 2х, если соседние стороны равны по 5 см?

Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8?

Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8.

Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружнотей около правильного четырехугольника со стороной 9 см?

Найдите радиусы вписанной и описанной окружнотей около правильного четырехугольника со стороной 9 см.

Сторона правильного треугольника описанного около окружности равна 12 корней из 3 Найдите сторону правильного шестиугольника вписанного в данную окружность?

Сторона правильного треугольника описанного около окружности равна 12 корней из 3 Найдите сторону правильного шестиугольника вписанного в данную окружность.

Сторона квадрата равна 16 см?

Сторона квадрата равна 16 см.

Найди площади вписанной окружности в квадрате, и описанной.

Как найти площадь квадрата описанного около окружности если площадь вписанного в эту окружность правильного 6 — ка равна 9 корней из 3?

Как найти площадь квадрата описанного около окружности если площадь вписанного в эту окружность правильного 6 — ка равна 9 корней из 3.

Сторона правильного треугольника равна 6 корней из 3?

Сторона правильного треугольника равна 6 корней из 3.

Вычислите площадь вписанного в него круга.

Докажите, что площадь правильного шестиугольника равна утроенному произведению радиусов вписанной и описанной окружностей?

Докажите, что площадь правильного шестиугольника равна утроенному произведению радиусов вписанной и описанной окружностей.

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см?

Окружность радиуса 6 см вписана в четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равна 28 см.

Найдите площадь четырехугольника.

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 13 см, а радиус вписанной в него окружности равен 9 см?

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 13 см, а радиус вписанной в него окружности равен 9 см.

Найдите площадь четырехугольника.

На странице вопроса Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся студенческий. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

По поводу третьей задачи. В условии явная ошибка. 2 — мя лучами угол нельзя разделить на 4 равных угла, только на 3 угла по 40 градусов. При этом невозможно получить суммированием ни одного угла по 60 градусов. Разделить на 4 равных угла можно то..

Если сторона треугольника, вписанного в окружность, совпадает с диаметром (проходит через центр окружности), то это значит, что треугольник прямоугольный. Из этого делаем вывод, что треугольник АВС — прямоугольный, а угол В — прямой. Исходя из этог..

Тк АС — диаметр = > угол В 90 градусов угол С = 180 — 90 — 81 = 9 градусов.

Угол EBC = BEA (как накрестлежащие) угол BAE = 180 — ABE — BEA = 180 — 62 — 62 = 56 (по правилу треугольника) BAE = BCD = 56 (по правилу параллелограмма) ABC = ABE + EBC = 62 + 62 = 124 ADC = ABC = 124 ОТВЕТ : BAE = ADC = 56, ABC = ADC = 124.

Х — первый угол, тогда х + 20 второй угол х + х + 20 = 180(сумма смежных углов 180) 2х = 160 х = 80 — первый угол 80 + 20 = 100 — второй угол.

Нарисуем трапецию и проведём высоте BM. Площадь трапеции равна полусумму оснований на высоту, а средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Зная площадь трапеции и среднюю линию, найдём высоту. 180 : 45 = 4 Далее AM² = AB² — BM² = 25 — 16 = ..

1) Площадь поверхности шара (сферы) можно найти по формуле : Sсф = 4πR². 2) Для того, чтобы найти радиус шара, рассмотрим ΔОВА — прямоугольный, ОВ = 4 см, АВ = 3 см, по т. Пифагора ОА = R = √(ОВ² + АВ²) = = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 (см). 3..

АМ = МВ = 16 / 2 = 8 см МК = КВ = 8 / 2 = 4 см АК = АМ + МК = 8 + 4 = 12 см Ответ : 12 см.

С) т. К. у ромба перпендикулярные диагонали, а не у прямоугольника.