Найдите объем призмы если в ее основании лежит четырехугольник (3 видео)

Как найти объём прямой призмы, основанием которой служит данный четырёхугольник, а боковое ребро равно 5 см?

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Объем четырехугольной призмы: как вычислить, формулы и примеры
Что собой представляет призма четырехугольная?
Наклонная призма с неправильным основанием
Правильная фигура и ее объем
Задача с правильной фигурой
Вывод
Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы
Как выглядит призма
Площадь поверхности и объём
Нахождение элементов призмы
Примеры задач с решениями
🎦 Видео

Видео:Найдите объем треугольной призмыСкачать

Ваш ответ

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

решение вопроса

Видео:🔴 В основании прямой призмы лежит прямоугольный ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Объем четырехугольной призмы: как вычислить, формулы и примеры

Рассмотрим как вычислить объем четырехугольной призмы с формулами и примерами.

Стереометрия является важной частью общего курса геометрии, которая рассматривает характеристики пространственных фигур. Одной из таких фигур является четырехугольная призма. В данной статье подробнее раскроем вопрос, как рассчитывать объем призмы четырехугольной.

Видео:Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Что собой представляет призма четырехугольная?

Очевидно, что прежде чем приводить формулу объема призмы четырехугольной, необходимо дать ясное определение этой геометрической фигуры. Под такой призмой понимают трехмерный многогранник, который ограничен двумя произвольными одинаковыми четырехугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, и четырьмя параллелограммами.

Отмеченные параллельные друг другу четырехугольники называются основаниями фигуры, а четыре параллелограмма — это боковые стороны. Здесь следует пояснить, что параллелограммы также являются четырехугольниками, однако основания не всегда являются параллелограммами. Пример неправильного четырехугольника, который вполне может быть основанием призмы, показан ниже на рисунке.

Любая четырехугольная призма состоит из 6 сторон, 8 вершин и 12 ребер. Существуют четырехугольные призмы разных видов. Например, фигура может быть наклонной или прямой, неправильной и правильной. Далее в статье покажем, как можно рассчитывать объем призмы четырехугольной с учетом ее вида.

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Наклонная призма с неправильным основанием

Это самый несимметричный вид четырехугольной призмы, поэтому расчет ее объема будет относительно сложным. Определить объем фигуры позволяет следующее выражение:

Символом S_o здесь обозначена площадь основания. Если это основание представляет собой ромб, параллелограмм или прямоугольник, то рассчитать величину S_o несложно. Так, для ромба и параллелограмма справедлива формула:

где a — сторона основания, h_a — длина опущенной на эту сторону из вершины основания высоты.

Если основание представляет собой неправильный многоугольник (см. выше), то его площадь следует разбить на более простые фигуры (например, треугольники), вычислить их площади и найти их сумму.

В формуле для объема символом h обозначена высота призмы. Она представляет собой длину перпендикулярного отрезка между двумя основаниями. Поскольку призма является наклонной, то расчет высоты h следует проводить с использованием длины бокового ребра b и двугранных углов между боковыми гранями и основанием.

Видео:🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Правильная фигура и ее объем

Если основанием четырехугольной призмы является квадрат, а сама фигура будет прямой, то она называется правильной. Следует пояснить, что прямой призма называется тогда, когда все ее боковые стороны являются прямоугольниками и каждый из них перпендикулярен основаниям. Правильная фигура показана ниже.

Объем правильной четырехугольной призмы может быть вычислен по той же формуле, что и объем неправильной фигуры. Поскольку основанием является квадрат, то его площадь вычисляется просто:

Высота призмы h равна длине бокового ребра b (сторона прямоугольника). Тогда объем правильной призмы четырехугольной может быть рассчитан по следующей формуле:

Правильная призма с квадратным основанием называется прямоугольным параллелепипедом. Этот параллелепипед в случае равенства сторон a и b становится кубом. Объем последнего рассчитывается так:

Записанные формулы для объема V свидетельствуют о том, что чем выше симметрия фигуры, тем меньше линейных параметров требуется для вычисления этой величины. Так, в случае правильной призмы необходимое число параметров равно двум, а в случае куба — одному.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Задача с правильной фигурой

Рассмотрев вопрос нахождения объема призмы четырехугольной с точки зрения теории, применим полученные знания на практике.

Известно, что правильный параллелепипед имеет длину диагонали основания, равную 12 см. Длина диагонали его боковой стороны составляет 20 см. Необходимо рассчитать объем параллелепипеда.

Обозначим диагональ основания символом d_a, а диагональ боковой грани — символом d_b. Для диагонали d_a справедливы выражения:

Что касается величины d_b, то она является диагональю прямоугольника со сторонами a и b. Для нее можно записать следующие равенства:

Подставляя в последнее равенство найденное выражение для a, получим:

Теперь можно подставить полученные формулы в выражение для объема правильной фигуры:

Заменив d_a и d_b числами из условия задачи, приходим к ответу: V ≈ 1304 см 3 .

Видео:№366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 смСкачать

Вывод

Мы рассмотрели как найти объем четырехугольной призмы, а так же формулы, которые используются для нахождения объёма.

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Видео:Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Для площади поверхности куба:

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Видео:🔴 В бак, имеющий форму прямой призмы, налито ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
площадь основания: Sосн = V / h,
площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Видео:Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмыСкачать

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

🎦 Видео

Как правильно решить задание про четырёхугольник? / Разбор заданий на ОГЭ по геометрииСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

Задание 13 (В1) ЕГЭ по математике (база) ▶ №13 (Минутка ЕГЭ)Скачать

Математика | Объём в жизни и в математикеСкачать

ЕГЭ-2021: Объём отсечённой призмы | Задание 8: СтереометрияСкачать

Найдите объем призмы если в ее основании лежит четырехугольник