На векторах построен параллелепипед вычислить

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

где координаты векторов в соответствии с рисунком

вычисляются следующим образом

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a₁=, a₂= и a₃=

$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$

Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA₁(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

• а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA₁). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
V_ABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. S_ABCD= |[AB AD]|.

Теперь найдём модуль этого вектора:

S_ADD1A1= |[AD AA₁]|=√(81+256+1)=13√2.

г) Косинус угла λ₁, между ребром AB и диагональю B₁D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов

cos(λ1)	=	(AB B1D) |AB| * |B1D|	.

Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B₁D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B₁D = B₁A₁ + A₁A + AD = — AB — AA₁ + AD₁ = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B₁D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B₁D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B₁D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B₁D, (AB B₁D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

cos(λ1)	=	4 5√(10)	=	2√(10) 25	.

д) Что бы найти cos(λ₂), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD₁A₁ мы можем взять вектор [AD AA₁], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

cos(λ2)	=	6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1) 2√(26) * 13√(2)	=	46√(13) 169	.

Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD₁A₁.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Правило параллелепипеда для векторовСкачать

10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 17 Высшая математикаСкачать

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 19 Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Решение, вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 16Скачать

Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 18 Высшая математикаСкачать