На векторах построен параллелепипед вычислить

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

На векторах построен параллелепипед вычислить

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

Объём параллелепипеда

Объём параллелепипеда, построенного на трех векторах

На векторах построен параллелепипед вычислить

где координаты векторов в соответствии с рисунком

На векторах построен параллелепипед вычислить

вычисляются следующим образом

Знак плюс берется, когда определитель третьего порядка положителен, а минус наоборот – знак отрицателен.

Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a1=, a2= и a3=

$ = pm left( <2cdotleft( <left( right)cdot2 — 1cdot3> right) — 3left( <left( right)cdot2 — 3cdot3> right) + 2left( <left( right)cdot1 — 3cdotleft( right)> right)> right) = -33$

Так как определитель отрицателен, берем перед ним знак « − ».

Тогда объём параллелепипеда построенного на векторах равен V=33

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

На векторах построен параллелепипед вычислитьДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    📺 Видео

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

    Правило параллелепипеда для векторовСкачать

    Правило параллелепипеда для векторов

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипеда

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 17 Высшая математикаСкачать

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 17 Высшая математика

    №330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

    №330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1

    Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

    Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 19 Высшая математикаСкачать

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 19 Высшая математика

    Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

    Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

    ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

    ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

    Площадь параллелограмма по векторамСкачать

    Площадь параллелограмма по векторам

    Решение, вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 16Скачать

    Решение, вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 16

    Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

    Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипед

    Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

    Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

    Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

    Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

    Решение задач на векторное и смешанное произведения векторов

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 18 Высшая математикаСкачать

    Решение, найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c пример 18 Высшая математика
  • Поделиться или сохранить к себе: