На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники. Сколько тех и других изображено на рисунке, если у всех фигур вместе 69 углов, а всего фигур — 18?
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  5. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  6. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  7. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  8. Параллелограмм
  9. Параллелограмм и его свойства
  10. Признаки параллелограмма
  11. Прямоугольник
  12. Признак прямоугольника
  13. Ромб и квадрат
  14. Свойства ромба
  15. Трапеция
  16. Средняя линия треугольника
  17. Средняя линия трапеции
  18. Координаты середины отрезка
  19. Теорема Пифагора
  20. Справочный материал по четырёхугольнику
  21. Пример №1
  22. Признаки параллелограмма
  23. Пример №2 (признак параллелограмма).
  24. Прямоугольник
  25. Пример №3 (признак прямоугольника).
  26. Ромб. Квадрат
  27. Пример №4 (признак ромба)
  28. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  29. Пример №5
  30. Пример №6
  31. Трапеция
  32. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  33. Центральные и вписанные углы
  34. Пример №8
  35. Вписанные и описанные четырёхугольники
  36. Пример №9
  37. Пример №10
  38. Математика. 5 класс
  39. 🔍 Видео

Видео:Виды четырёхугольниковСкачать

Виды четырёхугольников

Ваш ответ

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

решение вопроса

Видео:ОГЭ Геометрия 1 часть Треугольники ЧетырехугольникиСкачать

ОГЭ Геометрия 1 часть Треугольники Четырехугольники

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,754
  • разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Видео:Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать

Четырехугольники.  Геометрия 8 класс.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видуглы На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляются внешними.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видто параллелограмм На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляется ромбом.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство теоремы 1.

Дано: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видромб.

Докажите, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство (словестное): По определению ромба На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видравнобедренный. Медиана На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(так как На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТак как На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляется прямым углом, то На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Аналогичным образом можно доказать, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

План доказательства теоремы 2

Дано: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видравнобедренная трапеция. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Докажите: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видтогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпроведем параллельную прямую к прямой На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видчерез точку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— середину стороны На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпроведите прямую параллельную На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видКакая фигура получилась? Является ли На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видМожно ли утверждать, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Пусть дан треугольник На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види его средняя линия На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПроведём через точку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпрямую параллельную стороне На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видт.е. совпадает со средней линией На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТ.е. средняя линия На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпараллельна стороне На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТеперь проведём среднюю линию На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТ.к. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видто четырёхугольник На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПо теореме Фалеса На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство: Через точку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види точку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видсередину На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видчерез На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види точка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкоторая является серединой отрезка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видто На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вида отсюда следует, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

2) По теореме Фалеса, если точка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляется серединой отрезка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видто на оси абсцисс точка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

3) Координаты середины отрезка На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видс концами На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видточки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на виднаходятся так:

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видто, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— прямоугольный.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видявляются Пифагоровыми тройками, то и числа На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид+ CD (по неравенству треугольника). Тогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Решение:

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(АВ CD, ВС-секущая), На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(ВС || AD, CD — секущая), На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. По свойству углов четырёхугольника, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Следовательно, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо двум сторонами и углу между ними.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПри помощи циркуля сравните длины отрезков На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Проведём через точки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпрямые На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпараллельные ВС. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо стороне и прилежащим к ней углам. У них На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпо условию, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак противоположные стороны параллелограммов На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видПроведём прямую На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Через точки На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видпроведём прямые, параллельные прямой На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак вертикальные, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видравнобедренный. Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. По свойству внешнего угла треугольника, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНа рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Из доказанного в первом случае следует, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видизмеряется половиной дуги AD, a На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— половиной дуги DC. Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Тогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Докажем, что На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид. По свойству равнобокой трапеции, На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Тогда На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на види, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видвписанного в окружность. Действительно,

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Следовательно, четырёхугольник На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Математика. 5 класс

Периметр

В четырёхугольнике все стороны равны 5 см. Чему равен периметр четырёхугольника? Выберите правильный ответ.

Виды треугольников

Верны ли утверждения? Выберите правильный ответ.

1. Если четырёхугольники равны, то равны и их периметры.

2. Если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны.

Многоугольники

Подставьте в таблицу определения и понятия, чтобы получились верные высказывания.

Прямоугольник
Многоугольник
Прямоугольник

Сопоставьте элементы прямоугольника.

Соедините попарно равные отрезки.

На рисунке изображены треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на вид

Многоугольник

Подставьте в текст нужные слова.

– это геометрическая (многоугольник), состоящая из четырёх (вершин), никакие три из которых не лежат на одной , и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

🔍 Видео

Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | Математика

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Четырехугольник | Геометрия 7-9 класс #41 | ИнфоурокСкачать

Четырехугольник | Геометрия 7-9 класс #41 | Инфоурок

Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Описанные четырехугольники. 9 класс.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)Скачать

Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать

Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.
Поделиться или сохранить к себе: