Свойства площадей подобных треугольников

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Площади подобных треугольников

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 103.

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 103.

Подобные треугольники – это следующий шаг в изучении треугольников после равенства. Нужно в полной мере понимать возможности подобия треугольников, чтобы правильно использовать все свойства в решении задач. Разберемся в отличиях равенства, подобия и равновеличия, а также поговорим о свойствах сторон и определении площадей подобных треугольников.

Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

Подобные треугольники

Подобными треугольниками называют треугольники, соответственные стороны которых пропорциональны, а углы равны. Равные треугольники также являются подобными с коэффициентом подобия равным 1.

Рис. 1. Подобные треугольники

Коэффициент пропорциональности (подобия) – это отношение длин сторон одного треугольника к соответствующим длинам сторон другого треугольника. Важно при подсчете коэффициента строго соблюдать какая сторона к какой относится.

Например, если вы начали расчет делением сторон большего треугольника на стороны меньшего, то стоит придерживаться такого подхода и далее.

Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Признаки подобия

Признаки подобия в чем-то похожи на признаки равенства треугольников. Всего их тр:

• По двум углам. Если два угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Рис. 2. Признаки подобия треугольников

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Свойства подобных треугольников

• Стороны подобных треугольников пропорциональны и относятся друг к другу в отношении, равном коэффициенту подобия.
• Углы подобных треугольников равны.
• Площади подобных треугольников относятся друг к другу в отношении, равном квадрату коэффициента подобия.

Остановимся подробнее на последнем свойстве. Почему все стороны соотносятся ,как коэффициент в первой степени, а площади в квадрате? Потому что площадь это половина произведения основания на высоту.

Пропорциональны друг другу не только стороны, но и характерные отрезки: медианы, высоты, биссектрисы.

Получается, что обе части произведения площади пропорциональны, но в произведении участвуют как высота, так и основание. Значит коэффициент пропорциональности должен быть возведен в квадрат.

Нужно четко различать понятие подобных и равновеликих треугольников. Подобные треугольники имеют коэффициент подобия, в соответствие с которым соотносятся стороны треугольника. А равновеликие треугольники могут, как угодно разнится по значениям сторон, важно лишь, чтобы площади треугольников были равны.

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое подобные треугольники, поговорили об их свойствах. Поговорили об отношении площадей подобных треугольников и вывели это отношение на практике для лучшего запоминания формулы.

Видео:Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

Основные сведения об отношении площадей подобных треугольников

Видео:ЕГЭ Задание 16 Подобные треугольники Свойства площадейСкачать

Понятие подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов пропорциональны.

A B / K L = B C / L M = A C / K M = k , ∠ A = ∠ K , ∠ B = ∠ L , ∠ C = ∠ M ⇒ Δ A B C

Отношение длин подобных треугольников называют коэффициентом подобия (k).

Также пропорциональные стороны подобных треугольников могут быть названы сходственными сторонами.

В подобных треугольниках, кроме сторон, подобны и другие величины: биссектрисы, медианы, высоты и т.д.

Видео:Тема 23. Свойство площадей подобных треугольниковСкачать

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Формулировка теоремы: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В геометрии существует три признака подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. Отношение длин соответствующих элементов подобных элементов равно коэффициенту подобия.

Видео:Отношение площадей подобных треугольников.Скачать

Доказательство теоремы

Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: изобразим подобные треугольники Δ A B C

Из подобия треугольников по определению следует: A B / K L = B C / L M = A C / K M = k .

Воспользуемся следующей теоремой: если у двух треугольников равны углы (∠A=∠K), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем в виде формулы:

Что и требовалось доказать.

Видео:60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Примеры решения задач

Площади подобных треугольников ΔABC и ΔA1B1C1 равны соответственно 200 см² и 50 см². Сторона A1B1=5 см. Найдите сходственную ей сторону AB треугольника ABC.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников: S a b c / S a 1 b 1 c 1 = k ² ⇒ 200 / 50 = k ² ⇒ k = 2 .

A B / A 1 B 1 = 2 , A B = A 1 B 1 * 2 , A B = 5 * 2 = 10 с м .

ΔABC и ΔA1B1C1 — подобны. Сходственные стороны AC и A1C1 соответственно равны 13 см и 0,1 м.

Найдите отношение периметров ΔABC и ΔA1B1C1.

A 1 C 1 = 0 , 1 м = 10 с м

A C / A 1 C 1 = 13 / 10 = 1 , 3 ⇒ P a b c / P a 1 b 1 c 1 = 1 , 3

Видео:Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Задача для самостоятельной работы

Треугольники Δ A B C

Δ K L M подобны. Площадь ΔABC равна 500 см², площадь ΔKLM равна 125 см². Сторона AC равна 18 см, найти сходственную ей сторону KM.

Проверьте, насколько верный или неверный ваш ответ.

Советуем составить краткий конспект для подготовки к уроку.

🎦 Видео

Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Урок 45. Свойство площадей подобных треугольников (8 класс)Скачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс Отношение площадей подобных фигурСкачать