Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОкружность описанная около треугольника
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  6. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  7. Описанная и вписанная окружности треугольника
  8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  9. Вписанные и описанные четырехугольники
  10. Окружность, вписанная в треугольник
  11. Описанная трапеция
  12. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  13. Обобщенная теорема Пифагора
  14. Формула Эйлера для окружностей
  15. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  16. 📺 Видео

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Площадь треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде R — радиус описанной окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Найдем радиус Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПо свойству касательной Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(по острому углу) следуетЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи по свойству касательной к окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— полупериметр треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаРадиусы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см. рис. 95) Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаиз Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато получится пропорция Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапо теореме Пифагора Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см), откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— общий) следует:Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см. рис. 97) Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, из Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника‘ откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника). Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИз формулы площади треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаследует: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаего вписанной окружности.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИз Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.
В Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Откуда

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаразделить на Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде с — гипотенуза.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, где Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— искомый радиус, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— катеты, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— гипотенуза треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи гипотенузой Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаНо Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, т. е. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Следствие: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Формула Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникав сочетании с формулами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаНайти Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Решение:

Так как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Из формулы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаследует Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. По теореме Виета (обратной) Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— посторонний корень.
Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— квадрат, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
По свойству касательных Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПо теореме Пифагора

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Следовательно, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольниказначения Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаполучим Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПо теореме Пифагора Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, т. е. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникарадиус вписанной в него окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникавписанной окружности, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— высота Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаравна сумме удвоенной площади Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаследует Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаВозведем части равенства в квадрат: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаследует, что Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИз формулы Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаследует, что Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаАналогично доказывается, что Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато около него можно описать окружность.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаили внутри нее в положении Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИскомый радиус вписанной окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольниканайдем площадь данного ромба: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПоскольку Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см), то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОтсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см).

Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПо свойству описанного четырехугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОтсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакак внутренние односторонние углы при Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи секущей CD, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 131). Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— прямоугольный, радиус Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаили Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаВысота Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникат. е. Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. После преобразований получим: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаАналогично: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Замечание. Если Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 141), то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПусть в трапеции ABCD основания Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— боковые стороны, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОтсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаОтвет: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи радиусом Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— соответствующие линейные элемен­ты Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Пример:

Пусть Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(см. рис. 148). Найдем Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаотсюда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
Ответ: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, и Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде b — боковая сторона, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаРадиус вписанной окружности Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаТак как Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникато Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаИскомое расстояние Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаоткуда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникагде Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— полупериметр, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— центр окружности, описанной около треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, поэтому Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасуществует точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— ее радиусами.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Проведем серединные перпендикуляры Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасторон Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасоответственно. Пусть точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Так как точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Значит, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаЦентр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, т. е. точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, отрезки Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасуществует точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Проведем биссектрисы углов Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— точка их пересечения. Так как точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапринадлежит биссектрисе угла Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, то она равноудалена от сторон Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникапринадлежит биссектрисе угла Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, то она равноудалена от сторон Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Следовательно, точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, где Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус вписанной окружности, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— катеты, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— гипотенуза.

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Решение:

В треугольнике Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника(рис. 302) Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— центр вписанной окружности, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникасоответственно.

Отрезок Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника.

Так как точка Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— центр вписанной окружности, то Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— биссектриса угла Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольникаи Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Тогда Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника— равнобедренный прямоугольный, Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Центр вписанной и описанной окружности около равнобедренного треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Окружность описана около равнобедренного треугольника. Найти центральный уголСкачать

Окружность описана около равнобедренного треугольника.  Найти центральный угол

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.Скачать

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачуСкачать

ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачу

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около  равностороннего   треугольника. Задача 2
Поделиться или сохранить к себе: