Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

2. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВС и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАDС: АС — общая, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 =Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то3 (т.к. по условию АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВС =Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВ = DC и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2 = Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то4. Но Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2 и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то.

3. Итак, АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС и АВДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам точетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

2. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВС и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАВС =Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 = Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2, при этом Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам топо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам топо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

1. Рассмотрим Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАОD и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАОD и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВОС (как вертикальные углы), Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАОD =Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоАD = ВC и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 = Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2.

2. Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 и Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то1 = Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то2, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам топо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоВС, Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам топо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Параллелограмм: свойства и признаки

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

О чем эта статья:

Видео:Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 кл

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равнаСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равна

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам то

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Доказать неравенство ➜ a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≥4abcd ➜ Задача от ВМК МГУСкачать

Доказать неравенство ➜ a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≥4abcd ➜ Задача от ВМК МГУ

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

Теорема (1-й признак параллелограмма).

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажите что если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тоДано : ABCD — четырехугольник,

AC и BD — диагонали,

Доказать : ABCD — параллелограмм.

1. Рассмотрим треугольники AOD и COB.

1) AO=OC (по условию);

2) BO=OD (по условию);

Следовательно, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ADO=∠CBO.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD, то AD∥BC (по признаку параллельных прямых).

3. Аналогично, ∆ AOB=∆ COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD.

4. Доказали, что AD∥BC и AB∥CD.

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению).

🌟 Видео

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). ЗадачаСкачать

Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Задача

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этотСкачать

Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этот

№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°Скачать

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°

Диагонали параллелограмма делятся пополамСкачать

Диагонали параллелограмма делятся пополам

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

3.26.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

3.26.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.Скачать

№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.
Поделиться или сохранить к себе: