Длина отрезка касательной проведенной к окружности равна 8
Обновлено
Поделиться
Длина отрезка касательной, проведённой к окружности из точки $A$, равна $8$, а расс…
Длина отрезка касательной, проведённой к окружности из точки $A$, равна $8$, а расстояние от точки $A$ до центра $O$ окружности равно $10$ (см. рис.). Найдите радиус окружности.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Вместе с этой задачей также решают:
Касательные к окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$ пересекаются под углом $58^°$ (см. рис.). Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $K$, $E$ и $F$. Известно, что $∠ EOF=138^°$ и $∠ KOE=142^°$ (см. рис.). Найдите угол $KEF$. Ответ дайте в градусах.
Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в $22:00$?
Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в $7:00$?
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Длина отрезка касательной , проведенной к окружности из точки а , равна 8, а растояние от точкиа до центра о окружности равно 10, найдите радиус окружности?
Математика | 5 — 9 классы
Длина отрезка касательной , проведенной к окружности из точки а , равна 8, а растояние от точкиа до центра о окружности равно 10, найдите радиус окружности.
Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать
Помогите с помощью циркуля построй окружность с центром в точке О и радиусом равным длине отрезка А Б?
Помогите с помощью циркуля построй окружность с центром в точке О и радиусом равным длине отрезка А Б.
Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 02 Касательные к окружностиСкачать
Построй окружность с центром в точке К и проходящую через точку М?
Построй окружность с центром в точке К и проходящую через точку М.
Допиши фразу : длина радиуса окружности с центром в точке К равна.
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О?
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О.
Найдите радиус окружности , если угол между касательными равен 60 градусов , а расстояние от точки А до тоски О равно 6.
Видео:На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Отметьте точки О и А расстояние между которыми равно 5 см?
Отметьте точки О и А расстояние между которыми равно 5 см.
Начертите окружность с центром в точке О радиусом 3 см.
Вычислите радиусы окружностей с центром в точке А которые касаются построенной окружности.
Начертите эти окружности.
Видео:КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать
Начерти отрезок AB длиной 4 см?
Начерти отрезок AB длиной 4 см.
Поставь точку О на отрезке.
Проведи две окружности с центром в этой точке и радиусами, равными отрезками ОА и OB.
Запиши, чему равны радиусы этих окружностей.
Сколько получилось точек пересечения двух окружностей?
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Радиус окружности с центром в точке M равно равен 6 сантиметров она в два раза больше радиуса окружности с центром в точке О Начерти окружность с центром в точке О?
Радиус окружности с центром в точке M равно равен 6 сантиметров она в два раза больше радиуса окружности с центром в точке О Начерти окружность с центром в точке О.
Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать
Радиус окружности с центром в точке М равен 6см?
Радиус окружности с центром в точке М равен 6см.
Он в 2раза больше радиуса окружности с центром в точке О.
Начерти окружность с центром в точке О.
Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Две окружности пересекаются в точках C и D?
Две окружности пересекаются в точках C и D.
Точка B — центр второй окружности, а отрезок AB — диаметр первой.
Из точки CC провели касательную к первой окружности, которая пересекает вторую окружность в точке E, отличной от C.
Найдите радиус первой окружности, если радиус второй равен 20, а длина отрезка CE равна 24.
Точка BB — центр второй окружности, а отрезок ABAB — диаметр первой.
Из точки CC провели касательную к первой окружности, которая пересекает вторую окружность в точке EE, отличной от CC.
Найдите радиус первой окружности, если радиус второй равен 25, а длина отрезка CECE равна 30.
Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать
Точка A находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см?
Точка A находится на расстоянии 10 см от центра окружности радиуса 1 см.
Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки A к этой окружности.
На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Длина отрезка касательной , проведенной к окружности из точки а , равна 8, а растояние от точкиа до центра о окружности равно 10, найдите радиус окружности?, относящийся к категории Математика. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.
🔥 Видео
Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать
Геометрия 8 класс. Касательная к окружностиСкачать
