Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Две секущие из одной точки к окружности доказательствоОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Две секущие из одной точки к окружности доказательствоСвойства хорд и дуг окружности
Две секущие из одной точки к окружности доказательствоТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Две секущие из одной точки к окружности доказательствоДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Две секущие из одной точки к окружности доказательствоТеорема о бабочке

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДве секущие из одной точки к окружности доказательство
КругДве секущие из одной точки к окружности доказательство
РадиусДве секущие из одной точки к окружности доказательство
ХордаДве секущие из одной точки к окружности доказательство
ДиаметрДве секущие из одной точки к окружности доказательство
КасательнаяДве секущие из одной точки к окружности доказательство
СекущаяДве секущие из одной точки к окружности доказательство
Окружность
Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДве секущие из одной точки к окружности доказательствоДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательствоЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДве секущие из одной точки к окружности доказательствоБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДве секущие из одной точки к окружности доказательствоУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательствоДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДве секущие из одной точки к окружности доказательство

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДве секущие из одной точки к окружности доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДве секущие из одной точки к окружности доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДве секущие из одной точки к окружности доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДве секущие из одной точки к окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Пересекающиеся хорды
Две секущие из одной точки к окружности доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Две секущие из одной точки к окружности доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Две секущие из одной точки к окружности доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Две секущие из одной точки к окружности доказательство
Пересекающиеся хорды
Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Тогда справедливо равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Свойство секущих

Теорема

Для каждой из секущих, проведённых из одной точки, произведение длины секущей на длину её внешней части есть величина постоянная.

Две секущие из одной точки к окружности доказательствоДано : окружность (O; R), AB и AC — секущие,

AB∩окр. (O; R)=F, AC∩окр. (O; R)=K

Две секущие из одной точки к окружности доказательствоРассмотрим треугольники ABK и ACF.

∠ABK=∠ACF (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу FK).

Следовательно, треугольники ABK и ACF подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

По основному свойству пропорции:

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Что и требовалось доказать.

Две секущие из одной точки к окружности доказательствоII способ

1) Проведём отрезки FK и BC.

2) Так как четырёхугольник BFKC — вписанный в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180º:

∠BCK+∠BFK=180º. Следовательно, ∠BFK=180º-∠BCK.

3) ∠AFK+∠BFK=180º (как смежные). Отсюда,

Две секущие из одной точки к окружности доказательство4) Рассмотрим треугольники ABC и AKF.

У них ∠ACB=∠AFK (так как ∠AFK=∠BCK по доказанному), ∠A — общий угол. Следовательно, треугольники ABC и AKF — подобны (по двум углам).

Две секущие из одной точки к окружности доказательство

Что и требовалось доказать .

При решении задач будем использовать свойство секущих, а также запомним полученные в ходе доказательства теоремы факты о подобии треугольников, образованных секущими. Причем подобие треугольников ABC и AKF можно доказывать как приведённым выше способом, так и опираясь на свойство секущих.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Please wait.

Видео:Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d7033f519667a7d • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

📸 Видео

Геометрия. Окружность, секущие и касательные.Скачать

Геометрия. Окружность,  секущие и касательные.

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 класс

теорема о произведении отрезков секущихСкачать

теорема о произведении отрезков секущих

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей
Поделиться или сохранить к себе: