Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Разложение вектора по векторам

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a 1, . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a 1, . an равна вектору b :

при этом коэффициенты x 1, . xn , называются координатами вектора b в базисе a 1, . an .

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

На данном уроке мы напомним основные определения и рассмотрим типовые задачи на компланарные векторы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Разложение векторов в параллелограмме

Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторамСкачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторам

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Правило параллелограмма — что это такое

Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.

Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:

  1. Взять произвольную точку А.
  2. Отложить от точки векторы a и b.
  3. Построить на векторах a и b параллелограмм.
  4. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b

Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:

1. Правило треугольника.

Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.

2. Правило многоугольника.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Переместительный и сочетательный законы, доказательство

Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.

Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.

От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.

Построим параллелограмм ABCD.

По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.

AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.

С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.

Что и требовалось доказать.

Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.

Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).

От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.

Запишем сумму (a+b)+c через векторы:

Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).

Запишем сумму a+(b+c) через векторы:

Что и требовалось доказать.

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Примеры решения задач

Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.

По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.

BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:

B D = √ ( A B ² + B C ² — 2 * A B * B C * cos B ) .

ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.

Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 1 часть. Геометрия 9Скачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 1 часть. Геометрия 9

Векторное произведение векторов

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

  • он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
  • он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
    Разложение вектора по векторам в параллелограмме
  • длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
    Разложение вектора по векторам в параллелограмме
  • тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

  • Разложение вектора по векторам в параллелограмме
  • Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 класс

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

Разложение вектора по векторам в параллелограмме

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

  • Антикоммутативность
    Разложение вектора по векторам в параллелограмме
  • Свойство дистрибутивности
    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме
    Сочетательное свойство
    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    , где λ произвольное действительное число.

    Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

    Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

    Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

    Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать

    №770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:

    Примеры решения задач

    Пример 1

    а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

    б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

    а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

    б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Пример 2

    Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

    По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

    Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Пример 3

    Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

    Сначала найдём векторы:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Затем векторное произведение:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Вычислим его длину:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Урок 4. Геометрия 9 классСкачать

    Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Урок 4. Геометрия 9 класс

    Геометрический смысл векторного произведения

    По определению длина векторного произведения векторов равна

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

    Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Видео:Разложение вектора по векторамСкачать

    Разложение вектора по векторам

    Физический смысл векторного произведения

    В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

    Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

    Разложение вектора по векторам в параллелограмме

    Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

    Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 2 часть. Решение задач. Геометрия 9Скачать

    Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 2 часть. Решение задач. Геометрия 9

    Геометрия

    А Вы уже инвестируете?
    Слышали про акцию в подарок?

    Зарегистрируйся по этой ссылке
    и получи акцию до 100.000 руб

    План урока:

    Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)

    Разложение векторов

    Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

    Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

    Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

    Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

    Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

    Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

    Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

    Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

    В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

    Верно следующее утверждение:

    Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

    На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

    Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

    Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

    Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

    Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

    Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

    Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

    Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

    Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

    Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

    Вектор d можно представить в виде суммы:

    Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

    Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

    Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

    Вычитание векторов. 9 класс.

    Координаты векторов

    Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

    Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

    Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

    Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

    Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

    Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

    Можно записать равенство:

    Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

    Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

    В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

    Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

    Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

    Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

    После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

    После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты .

    Выполним построение и для с:

    Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют .

    Осталось рассмотреть d:

    Здесь координаты вектора будут равны , так как такие же координаты имеет точка D.

    Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

    Задание. Даны координаты вектора:

    Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

    Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

    Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

    Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

    Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

    Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

    Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

    Сложение векторов. 9 класс.

    Сложение и вычитание векторов

    Пусть у нас есть векторы a и b . Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

    Эта запись означает, что с имеет координаты . В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

    Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а и b . Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с . Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

    Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

    В итоге получился вектор с .

    Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

    Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

    Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a и b . Снова запишем их разложение на единичные вектора:

    Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

    Например, пусть надо вычесть из вектора а вектор b . Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

    Аналогично вычисляем и координату у:

    В итоге получили вектор с координатами .

    Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

    Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

    Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х1и у1 можно разложить на орты следующим образом:

    Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

    Например, есть вектор а , который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

    В результате получился вектор .

    Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

    Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

    Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    Признак коллинеарности векторов

    Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

    Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

    Если числа х2 и у2 не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

    Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

    Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

    Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты , а у вектора b они равны . Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

    Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

    Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

    В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

    Естественно, снова получилось одинаковое число.

    Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты , причем у1≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты составят:

    Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у2 и у1 могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

    Например, есть вектор . Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

    Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору . В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

    Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

    Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

    Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

    Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

    Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

    В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

    У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

    У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

    У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

    Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

    Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

    Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

    Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

  • Поделиться или сохранить к себе: