Чему равна градусная мера четверти окружности 360 180 (5 видео)

Координатные четверти

Выясним, как в тригонометрии координатные четверти связаны с градусной и радианной мерой углов.

Тригонометрические углы получают в результате поворота луча OP₀ вокруг точки O. Поэтому точка P₀ соответствует углу 0°.

При положительном направлении обхода поворот луча происходит по часовой стрелке. Градусная мера всей окружности равна 360°. Каждая из четвертей занимает угол в 90°.

I координатной четверти соответствуют углы от 0° до 90°,

II — от 90° до 180°,

III — от 180° до 270°,

IV — от 270° до 360°.

Переводя градусную меру в радианную, получим аналогичное разбиение окружности по координатным четвертям в радианах:

Углы 0°, 90°, 180°,270°, 360° не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Отрицательные значения углов получают поворотом луча против часовой стрелки. Соответственно, иллюстрация разбиения по координатным четвертям в этом случае выглядит так:

Определить, углом какой четверти является угол:

а) 47°; -24°; 300°; 185°; -203°;1200°;

а) 47° — угол I координатной четверти, так как 0°

7π/6 — угол II координатной четверти, так как

Сравнение радианной меры угла с 0, π/2, π, 3π/2 и 2π иногда вызывает затруднения. В этом случае можно перевести радианную меру в градусную.

Другой способ: если дробь неправильная, можно найти ближайшее к коэффициенту перед π в числителе число, которое делится нацело на знаменатель, и представить числитель как сумму (или разность) этого целого числа и остатка.

Очевидно, что 7π/6>π. Поскольку π/6 — острый угол, то π/6

откуда 13π/8 — угол IV координатной четверти.

значит — 9π/5 — угол I четверти.

Следовательно, 19π/4 — угол II четверти.

Содержание

Радианная мера угла
Переход от радианной меры к градусной
Границы координатных четвертей
Нестандартные углы и периодичность
Please wait.
We are checking your browser. megamozg.com
Why do I have to complete a CAPTCHA?
What can I do to prevent this in the future?
📺 Видео

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Радианная мера угла

В школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

— основан на сторонах прямоугольного треугольника и их соотношениях. В этом случае все синусы и косинусы положительны, поскольку длина отрезка всегда задается положительным числом;
— работа ведется на тригонометрической окружности. Такой подход возникает на стыке 9—10 классов, и с этого момента синусы и косинусы вполне могут быть отрицательными. А «старые» геометрические определения становятся лишь частным случаем.

Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Переход от радианной меры к градусной

Вспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении.

С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной.

Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен

У многих возникает вопрос: при чем здесь Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило:

Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять на 180°. Пишется это так:

Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать Но если мы хотим найти примерную длину придется считать:

Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается.

Теперь взгляните на конкретные примеры:

Задача. Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: . Имеем:

sin π /3 = sin 180/3 = sin 60°;
cos 7 π /6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;
tg π = tg 180°;
sin π /4 = sin 180/4 = sin 45°;
tg 2 π /3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;
ctg π /2 = ctg 180/2 = ctg 90°;
sin 3 π /2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;
cos 5 π /4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Итак, вместо непонятного мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Границы координатных четвертей

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Это будет ключом к решению задачи B11. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением , а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:

α ∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;
α ∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;
α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;
α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру.

Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 180°; 270°; 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°.

А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

sin 8 π /9;
tg 12 π /15;
cos 9 π /10;
cos 7 π /18;
sin 3 π /5;
ctg 5 π /3;
tg 4 π /9;
cos 9 π /20.

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

sin 8 π /9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; это II четверть;
tg 12 π /15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; это II четверть;
cos 9 π /10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; это II четверть;
cos 7 π /18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; это I четверть;
sin 3 π /5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; это II четверть;
ctg 5 π /3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; это IV четверть;
tg 4 π /9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; это I четверть;
cos 9 π /20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; это I четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Нестандартные углы и периодичность

До сих пор мы рассматривали Но что произойдет, если, например, А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз).

С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену:
Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке
Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок
Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке И только затем выясняем координатную четверть. Получим:

sin 21 π /6 = sin (23 · 180/6) = sin 690°. Очевидно, что 690° > 360°, поэтому выполняем преобразование: sin 690° → sin 330°. это IV четверть;
cos 19 π /3 = cos (19 · 180/3) = cos 1140°. Поскольку 1140° > 360°, имеем: cos 1140° → cos 60°. это I четверть;
sin (−7 π /9) = sin (−7 · 180/9) = Но −140° π /4) = tg (−11 · 180/4) = начинаем увеличивать угол: tg 225°. Это уже нормальный угол. это III четверть.

Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать.

В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную.

Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Please wait.

Видео:Геометрия Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, котораяСкачать

We are checking your browser. megamozg.com

Видео:Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d4f753bb8c53a71 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare