В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.
Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:
Из этого следует, что стороны AO и OC равны.
Пусть OB равно x, тогда
при 
С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:
Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:
Найдем площадь четырехугольника ABCD:
Вычислим искомый радиус:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||
|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать  Четырехугольник — виды и свойства с примерами решенияСодержание: Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.
Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.
Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).
Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника. Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать  Внутренние и внешние углы четырехугольникаУгол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов
Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше
Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольникаТеорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна
Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольникаТеорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна
Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами. ПараллелограммПараллелограмм и его свойстваПараллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна
Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.
Признаки параллелограммаТеорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм. Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм. Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм. ПрямоугольникПараллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником. Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику. Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство: Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Признак прямоугольникаПараллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.
Ромб и квадратСвойства ромбаПараллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами: Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если
Доказательство теоремы 1. Дано: Докажите, что Доказательство (словестное): По определению ромба Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения. Ромб:
Квадрат:
ТрапецияЧетырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.
Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией. Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией. Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.
План доказательства теоремы 2 Дано: Докажите:
Средняя линия треугольникаТеорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Доказательство: через точку
Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится. Исследование: 1) В треугольнике
Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине
Доказательство. Пусть дан треугольник Средняя линия трапецииСредней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство: Через точку
Координаты середины отрезкаИсследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке
Координаты середины отрезка 1) Пусть на числовой оси заданы точки
2) По теореме Фалеса, если точка
3) Координаты середины отрезка
Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Теорема ПифагораВ этом разделе вы научитесь:
При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня. Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач. Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел. Практическая работа: Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата. Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки
Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.
Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки
Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника? Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.
Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли? Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах:
Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора. Пример: Найдём длину катета на рисунке:
Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос. Обратная теорема: Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если
Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Видео:Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать  Справочный материал по четырёхугольникуОбозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD. Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками? У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна. Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD. Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.
Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р. Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Пример: Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон. Решение: Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два. Пример №1Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.
Решение: Теорема (свойство диагоналей параллелограмма). Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам. Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.
Доказательство. Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы). Свойства параллелограмма приведены в таблице 3. 1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы). 2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия. Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых). Признаки параллелограммаРешaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма. Теорема (признак параллелограмма). Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD. Доказать: ABCD— параллелограмм. Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны? Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Теорема (признак параллелограмма). Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.
Доказать: ABCD — параллелограмм. Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Пример №2 (признак параллелограмма).Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.
Решение: Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм. Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:
Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.
Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом. Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны. Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма». ПрямоугольникПараллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:
Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство. Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).
Доказать: АС = BD. Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD. Свойства прямоугольника приведены в таблице 8. Пример №3 (признак прямоугольника).Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это. Решение: Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Следовательно, Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак). Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.
Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ? В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны. Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия. Ромб. КвадратМогут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны. Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.
Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD. Доказать: Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD. Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О
Пример №4 (признак ромба)Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Решение: Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором
Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:
Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом. На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.
Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.
Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на 1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.
2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.
Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом. 3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольникаНачертите угол ABC (рис. 117).
Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Дано:
Доказать: Доказательство. Проведём через точки Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).
Пример №5Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей. Решение: Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).
Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА, Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия
Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине. Дано:
Доказать: Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия 2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1 АС пополам: Пример №6Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Решение: Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.
Поэтому Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КР Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника. Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.
ТрапецияВы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм. На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.
Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны. Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144). Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР. Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.
Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:
Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. 1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это. Решение: Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.
Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и
Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника. Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами
Центральные и вписанные углыПроведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Дано: Доказать: Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла. 1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом 2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов: Из доказанного в первом случае следует, что 3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны. Пример №8Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см. Решение: Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности. Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение. Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Если описать окружность около Вписанные и описанные четырёхугольникиОтметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника. Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.
Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник. Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника. Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″. Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).
Доказать: Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность. Из теоремы о вписанном угле следует: Тогда Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства. Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность. Пример №9Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Решение: Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Докажем, что Поэтому, Тогда Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны. Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.
Доказать: АВ + CD = ВС + AD. Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD. В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства. Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC. 1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.
Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения
Следовательно, четырёхугольник 2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например. Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).
Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным. 4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.
Пример №10Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD. Решение: Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°. Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг. Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать  На рисунках даны треугольники и четырехугольники на сторонах серединные точки постарайся на видНаглядная геометрия 7 класс. Ключевые задачи по теме Треугольники
Запомните!1. Признаки равенства треугольников.
2. Свойство углов равнобедренного треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 3. Обратная теорема. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 4. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают. 5. Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:
6. Теорема о свойстве точек серединного перпендикуляра.
7. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности. Простые вопросы по теме «Треугольники»
Непростые вопросы по теме «Треугольники»
16* В треугольнике провели 2 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке? Ответы на простые и непростые вопросы
16* 8. Это конспект по геометрии «Ключевые задачи по теме Треугольники». Выберите дальнейшие действия: 📹 ВидеоПравильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать  Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать  Как правильно решить задание про четырёхугольник? / Разбор заданий на ОГЭ по геометрииСкачать  Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать  Математика 5 класс (Урок№28 - Треугольники.)Скачать  Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать  Учебник 5кл.Темы урока: "Четырёхугольники.Треугольники.Периметр четырёхугольников."Скачать  МЕРЗЛЯК-8. ГЕОМЕТРИЯ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. ПАРАГРАФ-1. ТЕОРИЯСкачать  Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)Скачать  Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать  8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать  Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать  Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать  Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать  Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать  Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать  |
углы 
являются внешними.
Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше 
Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.
то параллелограмм 
является ромбом.
ромб.
При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что 
равнобедренный. Медиана 
(так как 
), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. 
Так как 
является прямым углом, то 
. Аналогичным образом можно доказать, что 
равнобедренная трапеция. 
тогда 
Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.
проведем параллельную прямую к прямой 
через точку 
— середину стороны 
проведите прямую параллельную 
Какая фигура получилась? Является ли 
трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков 
Можно ли утверждать, что 
и его средняя линия 
Проведём через точку 
прямую параллельную стороне 
По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны 
т.е. совпадает со средней линией 
Т.е. средняя линия 
параллельна стороне 
Т.к. 
то четырёхугольник 
является параллелограммом. По свойству параллелограмма 
По теореме Фалеса 
Тогда 
Теорема доказана.
и точку 
середину 
проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной 
через 
радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения 
Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки 
и 
и точка 
которая является серединой отрезка 
то 
а отсюда следует, что 
является серединой отрезка 
то на оси абсцисс точка 
является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках 
и 
с концами 
и 
точки 
находятся так:
параллелен одной из осей координат.
как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.
— прямоугольный.
являются Пифагоровыми тройками, то и числа 
также являются Пифагоровыми тройками.
(рис. 1).
, стороны AD и ВС — противоположные.
=40 cm
+ CD (по неравенству треугольника). Тогда 
. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) 
. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.
(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично 
(АВ CD, ВС-секущая), 
(ВС || AD, CD — секущая), 
(АВ || CD, AD- секущая).
по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, 
как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.
по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: 
Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.
по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, 
как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: 
Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.
по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, 
как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и 
Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.
Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.
. 
по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что 
. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: 
. По свойству углов четырёхугольника, 
: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.
. 
по двум сторонами и углу между ними.
по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.
и 
Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки 
параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках 
При помощи циркуля сравните длины отрезков 
Сделайте вывод.
прямые 
параллельные ВС. 
по стороне и прилежащим к ней углам. У них 
по условию, 
как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что 
и 
как противоположные стороны параллелограммов 
Проведём прямую 
. Через точки 
проведём прямые, параллельные прямой 
, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.
. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, 
. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и 
, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.
= 90*.
no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, 
как вертикальные, 
внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.
равнобедренный. Поэтому 
соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда
— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).
. По свойству внешнего угла треугольника, 
— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому 
измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.
измеряется половиной дуги AD, a 
— половиной дуги DC. Поэтому 
измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.
как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому 
, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, 
(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.
(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: 
. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).
. По свойству равнобокой трапеции, 
и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.
центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника 
вписанного в окружность. Действительно,
