На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисованы два четырёхугольника: ABCD и ADEF. Найдите разность периметров четырёхугольников ABCD и ADEF.

Решение . Найдём длину отрезка AD:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Теперь найдём разность периметров четырёхугольников ABCD и ADEF:

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника , где и — диагонали.

Получим: На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Видео:Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисованы два четырехугольника ADBC и AEFC. Ннайдите разность между периметром ADBC и переметром AEFSC

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 на 1 нарисованы два четырехугольника

Ответ оставил Гость

Поделись вопросом в социальных сетях!

Если Вы не получили ответ на свой вопрос, то предлагаем воспользоваться поиском, чтобы найти похожие вопросы и ответы по предмету -> Геометрия. А если Вы знаете правильный ответ сами, то будем признательны если Вы ответите, воспользовавшись формой ниже.

📹 Видео

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профиль

[ЕГЭП] Номер 3. На клетчатой бумаге нарисованы два кругаСкачать

[ЕГЭП] Номер 3. На клетчатой бумаге нарисованы два круга

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумагеСкачать

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумаге

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | На клетчатой бумаге ... ✘ Школа ПифагораСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | На клетчатой бумаге ... ✘ Школа Пифагора

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограммСкачать

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограмм

Змейка -14 задание ОГЭ по математике 2023 / Лайфхаки для ОГЭ по математикеСкачать

Змейка -14 задание ОГЭ по математике 2023 / Лайфхаки для ОГЭ по математике

Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математикеСкачать

Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математике

Ты точно получишь 1 балл по геометрии за это задание. Все типы задания №18 на ОГЭ по математике!Скачать

Ты точно получишь 1 балл по геометрии за это задание. Все типы задания №18 на ОГЭ по математике!

Вариант 2 Задание 3 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать

Вариант 2  Задание 3  ЕГЭ 2016 Математика, И В  Ященко  36 вариантов  Решение  Ответ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.Скачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Самый большой в мире бумажный самолетикСкачать

Самый большой в мире бумажный самолетик

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.Скачать

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 7Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 7

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 9Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 9

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 12Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 12
Поделиться или сохранить к себе: