Свойства
Зная радиус сферы, описанной около тетраэдра, нужно, во-первых, найти ребро тетраэдра, а также можно узнать сразу радиус сферы, вписанной в тетраэдр, так как он ровно в три раза меньше радиуса описанной окружности. a=(2√6 R_1)/3 r_1=R_1/3
Затем, зная ребро тетраэдра через радиус сферы, описанной около тетраэдра, можно найти его периметр, который представляет собой длину всех ребер тетраэдра, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра, состоящей из четырех граней. P=4√6 R_1 S_1=2√3 〖R_1〗^2 S_(п.п.)=4S_1=8√3 〖R_1〗^2
Помимо радиусов вписанной и описанной около тетраэдра сфер, тетраэдр также обладает радиусами вписанной и описанной окружностей около основания, являющимся одной из граней, которые можно вычислить через радиус описанной сферы. r=(√2 R_1)/3 R=(2√2 R_1)/3
Чтобы найти высоту тетраэдра, нужно умножить радиус описанной вокруг него сферы на четыре и разделить на три, а чтобы вычислить апофему тетраэдра через радиус описанной сферы, необходимо умножить его на корень из двух. h=(4R_1)/3 l=√2 R_1
Объем тетраэдра, зная радиус сферы, описанной около него, равен радиусу в кубе, умноженному на коэффициент восемь корней из трех, деленный на три.. V=(8√3 〖R_1〗^3)/3
Тетраэдр.
Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.
Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.
Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).
Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).
Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.
Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.
Типы тетраэдров.
Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.
Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.
Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.
Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:
— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.
— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:
- есть сфера, которая касается каждого ребра,
- суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
- окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
- каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.
— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.
— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.
Основные формулы для правильного тетраэдра:
Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;
h — высота, опущенная на основание;
r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение тетраэдра
Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.
Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.
Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:
Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.